Сравнение множеств

[kp9r4d]

Может быть это я не семи пядей, но я с самого начала ничего не понял. Понял, что некоторым подмножеством $\mathbb{R}$ сопоставляется пара числа $(a,b)$ которая записывается как $a + \tau b$. Но вот, например

Цитата:

Количества равномерно распределенных множеств пропорциональны их плотности

Что такое равномерно распределённое множество? Что такое плотность множества? Что значит, что два числа "пропорциональны"?
Мне кажется вам стоит строже и аккуратнее изложить свои мысли, если хотите, чтобы вас понимали.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1055247 писал(а):

Что такое равномерно распределённое множество? Что такое плотность множества?

Здесь ТС называет "равномерно распределенными" дискретные множества, у которых расстояния между любыми двумя соседними элементами равны. Например, множество всех четных чисел, всех чисел, делящихся на $3$ и т.д.
"Плотностью (равномерно распределенного) множества" он называет величину, обратную расстоянию между соседними элементами. Например, плотность множества всех четных чисел у него $\frac{1}{2}$.

В общем-то, термины "плотность множества" и "равномерное распределение" уже заняты и означают совсем другое, но...

[kp9r4d]

Всё равно непонятно про "пропорциональность". Вот у нас есть натуральные числа, у них "плотность" 1. Предположим мы узнали их "количество" и это $a+\tau b$. Что значит в таком случае фраза $a + \tau b$ пропорциональна "1" и какую полезную информацию можно из неё извлечь?

[Anixx]

kp9r4d в сообщении #1055247 писал(а):

Может быть это я не семи пядей, но я с самого начала ничего не понял. Понял, что некоторым подмножеством $\mathbb{R}$ сопоставляется пара числа $(a,b)$ которая записывается как $a + \tau b$..

Нет, нестандартная часть не обязательно имеет форму $\tau b$. Это не аналогично комплексным числам.

-- 20.09.2015, 18:23 --

kp9r4d в сообщении #1055247 писал(а):

Что такое равномерно распределённое множество? Что такое плотность множества? Что значит, что два числа "пропорциональны"?

Равномерно распределенное множество - бесконечное множество чисел, расположенных на равном расстоянии друг от друга на числовой оси. "Плотность" здесь - величина, обратная расстоянию между элементами.

-- 20.09.2015, 18:24 --

kp9r4d в сообщении #1055253 писал(а):

Всё равно непонятно про "пропорциональность". Вот у нас есть натуральные числа, у них "плотность" 1.

Натуральные числа не являются равномерно-распределенными, так как они находятся только в положительной полуоси. Всеи равномерно-распределенные множества имеют стандартную часть, равную $0$.

[kp9r4d]

Цитата:

Нет, нестандартная часть не обязательно имеет форму . Это не аналогично комплексным числам.

Тогда я совсем ничего не понял. Я привык, что определения это данные плюс условия, а у вас данных нет, одни условия, да и то мутные.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1055253 писал(а):

Что значит в таком случае фраза $a + \tau b$ пропорциональна "1" и какую полезную информацию можно из неё извлечь?

Ну если предположить, что "количество" "равномерно распределенного" множества равно некоторой одной и той же для всех множеств константе, умноженной на "плотность множества", то можно сразу сказать, что "количество" множества всех четных чисел относится к "количеству" всех чисел, делящихся на $3$, как $\frac{1}{2}$ к $\frac{1}{3}$, то есть как $3$ к $2$. Я полагаю, ТС имел в виду именно это (хотя, может быть, и зря я тут телепатом забесплатно работаю).

[Anixx]

Anton_Peplov в сообщении #1055261 писал(а):

kp9r4d в сообщении #1055253 писал(а):

Что значит в таком случае фраза $a + \tau b$ пропорциональна "1" и какую полезную информацию можно из неё извлечь?

Ну если предположить, что "количество" "равномерно распределенного" множества равно некоторой одной и той же для всех множеств константе, умноженной на "плотность множества", то можно сразу сказать, что "количество" множества всех четных чисел относится к "количеству" всех чисел, делящихся на $3$, как $\frac{1}{2}$ к $\frac{1}{3}$, то есть как $3$ к $2$. Я полагаю, ТС имел в виду именно это (хотя, может быть, и зря я тут телепатом забесплатно работаю).

Да, именно это. Количество всех четных чисел - $\tau$, количество всех чисел, делящихся на $3$ (включая ноль) - $2/3\tau$

[Xaositect]

Я все-таки не понял, как мы перешли от множеств на плоскости к суммированию Рамануджана и из каких свойств следует, что стандартная часть связана с числами Бернулли.

[Someone]

Мне также непонятно, причём тут оказалось канторовское понятие мощности. Пока что то, что мы здесь наблюдаем, никакого отношения к мощности не имеет.

Так где определение? Или нас будут по-прежнему кормить неизвестно откуда взявшимися примерами?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
На этой волне всеобщего интереса мы переедем в Карантин с просьбой к ТС сформулировать все определения и доказать все утверждения полностью

Anixx
Дайте строгие определения всем используемым понятиям.
Выпишите чёткие подробные доказательства всех Ваших утверждений.
Сделайте это, пожалуйста, в новом посте или в самом последнем, если нет возможности сделать новый пост. Главное - сделайте всё в одном посте, без ссылок на предыдущие.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.