Клетки в таблице

[kikik]

Дана квадратная таблица $n\times n$,при каких $n$ в ней можно выделить некоторое количество клеток так,чтобы в каждой строке стояло одинаковое число выделенных клеток,а в каждом столбце разное? Является ли эта задача стандартной?Если да ,то на какую она тему?Эта задача-обобщение одной олимпиадной ,где таблица была дана при конкретном $n$

[provincialka]

Выглядит довольно стандартной... Кажется, встречалась.
По крайней мере, у вас есть решение для того $n$? Попробуйте его обобщить.

Кстати, может ли в некоторой клетке быть 0 выделенных? Или обязательно не менее одной? (Второй вариант проще!)

Решение, кстати, простое!

[kikik]

При втором варианте легко подсчитать число клеток в строке, я же хочу понять суть задачи исследовать ее полностью.Эта задача связана с подстановками?

[provincialka]

Да нет! Просто "на подумать". Если для некоторого варианта нет решения -- надо это доказать (чувствую, вы знаете, как)
Если решение есть -- его надо предъявить. И все!

(пробелы)

Не могли бы вы ставить пробелы после точек и запятых? А то плохо смотрится.

[kikik]

Я получил , что заполнение возможно для любого нечетного $n$, так как для $n=3$ заполнение возможно , при $n+2$, оставляем заполнение для случая $n$ , потом заполняем две нижние строки добавляя по две клетки к каждому столбцу в порядке убывания заполненных клеток в нем, а два правых столбца заполняем числом клеток,которые разделяют минималое и максимальное число заполненных клеток в столбцах слева.Но что делать для четного $n$ , и хотелось бы понять, сколько клеток может быть заполнено для каждого конкретного нечетного $n$.

[ewert]

kikik в сообщении #1054130 писал(а):

Но что делать для четного $n$

Попытаться разделить $n+1$ пополам.

[kikik]

ewert в сообщении #1054133 писал(а):

kikik в сообщении #1054130 писал(а):

Но что делать для четного $n$

Попытаться разделить $n+1$ пополам.

Соединяя таблицы , можно получить,что условие выполняется для $n$, не являющихся степенью двойки ,а как доказать невозможность заполнения ,если $n$ степень двойки?

[ewert]

provincialka в сообщении #1054106 писал(а):

Кстати, может ли в некоторой клетке быть 0 выделенных? Или обязательно не менее одной?

[kikik]

Может

[provincialka]

Если "может", то ответ положительный для любого $n$. Нужно ли еще что-то пояснять? Решение понятно?

[kikik]

А теперь надо определить возможное число выделеных клеток при каждом $n$

[provincialka]

Ну, уж это легко! Во всех клетках может быть минимум $0+1+... +(n-1)$ и максимум $1+2+... + n$ отмеченных. Причем количество должно делиться на $n$ (понимаете, почему?)

-- 17.09.2015, 18:49 --

Разве степень двойки не подходит?
$n=4$

$$\begin{bmatrix} X & X &. &.\\ X & X& .&.\\ X & X& .&.\\ X & . &X &. \end{bmatrix}$$

[kikik]

Спасибо,разобрался