тригонометрическая сумма, похожая на сумму Гаусса

[sergei1961]

Для суммы, похожей на квадратичную сумму Гаусса:

$$ S(n)=\sum_{k=1}^n \sin(k^2) $$

нет более-менее явного выражения? Обидно, если так, для похожей суммы Гаусса есть...
Неограниченность суммы-есть простое элементарное доказательство?

[ex-math]

Есть выражение только для полной суммы Гаусса. Вас интересуют оценки снизу?

[gris]

Интересно просто посмотреть на это выражение неискушённым взглядом. Интуитивно кажется, что значения синуса от квадратов натуральных чисел будут заполнять интервал от минус до плюс единицы. То есть ряд (если сумму продолжить до бесконечности) будет расходиться. Но это же пока не означает, что его суммы неограничены. Но можно представить член ряда как случайную величину. Можно, опять же, предположить, как она распределена на интервале. Вроде бы с уплотнением к краям. Тогда можно вспомнить задачу о случайном блуждании. Квадрат убивает марковость. И предположить, что сумма может принимать значения большие и меньшие любого числа.

[Sphinx Pinastri]

А почему бы просто не построить график. Для некоторых задач этого может оказаться достаточно.

/acc 0 def
/x 50000 def % Number of points per page
10 350 translate
0 0 moveto 1000 0 lineto stroke
0.3 setlinewidth
0 0 moveto
600 x div 1 scale
0 1 x { dup dup mul 180 mul 3.1415927 div sin acc add /acc exch def acc lineto } for
stroke showpage

Смотреть командой

gs FILE.PS

Масштаб по вертикали +- 350 на лист, масштаб по горизонтали 50000 на лист.

[ex-math]

gris
Действительно, последовательность $\{k^2\}$ равномерно распределена на $[0,2\pi)$. Это как раз следует из того, что наша сумма допускает нетривиальную оценку $O(\sqrt{n\ln n})$. Наверняка найдутся последовательности $\{n_k\}$, на которых сумма велика, но как к этому подступиться -- не знаю.

[Sonic86]

ex-math в сообщении #999621 писал(а):

Действительно, последовательность $\{k^2\}$ равномерно распределена на $[0,2\pi)$. Это как раз следует из того, что наша сумма допускает нетривиальную оценку $O(\sqrt{n\ln n})$.

А откуда Вы этот факт берете? И следствие?
Мы в прошлый раз как-то иначе мучились: topic78015.html

(Оффтоп)

Sphinx Pinastri в сообщении #999606 писал(а):

А почему бы просто не построить график.

А зачем?

[gris]

Элементарно доказать результат неограниченности сумм вряд ли получится. А вот в случае, например, $S(n)=\sum_{k=1}^n \sin(\sqrt k)$ это, вроде бы, получается. Даже и равномерность не нужна. Но уже с первой степенью такое не прокатит.

Не в оффтоп будет сказано: график, конечно, ничего не доказывает, просто интересно посмотреть, как сумму разносит симметрично в обе стороны. Гораздо легче это в эксельке построить. И я там увидел любопытный феномен. Островки симметричности функции $\sin(k^2)$, например в окрестности $k=355$ и $k=710$ прямо завораживают Подумав, понял, что это отражает хорошее приближение числа $\pi$ дробью $355/113$
На графике по центру ноль, а сверху и снизу по плюс-минус единичке.


Я уж усомнился в случайном блуждании

[Sonic86]

(Оффтоп)

gris в сообщении #999648 писал(а):

А вот в случае, например, $S(n)=\sum_{k=1}^n \sin(\sqrt k)$ это, вроде бы, получается.

Нет.
По формуле Эйлера-Маклорена $\sum_{k=1}^n \sin(\sqrt k)=\int\limits_{k=1}^n \sin(\sqrt t)dt + O(n^{-1/2})=|t=u^2|=$ $\int\limits_{k=1}^{\sqrt{n}} \sin(u)2udu + O(n^{-1/2})$ - интеграл расходится.

[ИСН]

Sonic86 в сообщении #999655 писал(а):

Нет.
По формуле Эйлера-Маклорена $\sum_{k=1}^n \sin(\sqrt k)=\int\limits_{k=1}^n \sin(\sqrt t)dt + O(n^{-1/2})=|t=u^2|=$ $\int\limits_{k=1}^{\sqrt{n}} \sin(u)2udu + O(n^{-1/2})$ - интеграл расходится.

Ну так это как раз и значит "да".

[gris]

Sonic86, я имел в виду — доказать неограниченность сумм. Там получаются увеличивающиеся периоды знакопостоянства и оценки можно делать доступно школьнику. Хотя может быть и не хватит грубых оценок Для кубического корня точно хватит!

[sergei1961]

Суммы с первой степенью вроде ограничены, или нет?

[Sonic86]

gris, ИСН, простите, тупанул.

sergei1961 в сообщении #999678 писал(а):

Суммы с первой степенью вроде ограничены, или нет?

Суммы с 1-й степенью явно вычисляются и да, ограничены.

[sergei1961]

По формуле Эйлера-Маклорена для квадратов нельзя оценить ошибку? Интеграл от неполной функции Френеля наверняка имеет хорошие границы, известные. Конечно на этом пути вышло бы не элементарно, но всё-таки не закон повторного логарифма.

[Sonic86]

sergei1961 в сообщении #999691 писал(а):

По формуле Эйлера-Маклорена для квадратов нельзя оценить ошибку?

В лоб нельзя, т.к. производная больше исходной функции.
Надо ex-math ждать...

[ex-math]

sergei1961
Там остаток будет больше главного члена.
Sonic86
Ну, произвольное $a$ и $a=2$ -- это две большие разницы.
Дробные доли многочлена равномерно распределены на $[0,1)$ тогда и только тогда, когда хотя бы один из коэффициентов иррационален. Это следует из критерия Вейля, хоть и не непосредственно. В нашем случае многочлен имеет вид $\frac1{2\pi}k^2$.
С верхней оценкой $O(\sqrt{n\ln n})$ я наврал Делал методом Вейля, но с чего-то решил, что знаменатель рационального приближения $\frac1{2\pi}$ в теореме Дирихле можно взять порядка корня из $n$. Для нетривиальной оценки нужна последовательность хороших рациональных приближений к $\frac1{2\pi}$.