чем тензорное произведение отличается от прямого

[illuminates]

Прямое произведение я понимаю как пространство элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных множеств, которое делает $L \times L \rightarrow K$, где $L$ - линейное пространство над полем чисел $K$.
(добавив линейность по каждому аргументу мы получим билинейную форму)
Из этого определения можно построить полилинейную форму (тензор) $L^* \times ... \times L^* \times L \times ... \times L \rightarrow K$ (опять же с учётом линейности)
Про тензорное произведение я знаю лишь такое определение.
Для полилинейных форм (тензоров) $S$ и $T$ типов $(p,q)$ и $(r,s)$ определена полинейная форма (тензор) $S \otimes T$
То есть: $S \otimes T: L^* \times ... \times L^* \times L \times ... \times L \rightarrow K$ Где количество $L^*$ равно $p+r$, а количество $L$ равно $q+s$
Из этого определения разницы между тензорным произведением и прямым кажется нет.

Я нашёл ответы на мой вопрос:
http://math.stackexchange.com/questions ... tor-spaces
https://www.physicsforums.com/threads/v ... ts.527355/

Кроме того видел в википедии определение тензора с использованием лишь тензорного произведения. Что это может значить? (оно совпадает с определением данным мной при замене $\times$ на $\otimes$ )
Но ответов я не понял - видимо так как плохо знаю английскй и линейную алгебру.

[arseniiv]

Краткий грубый переклад тех штук: возьмём конечномерные пространства $U, V$ и базисы $(\ldots,u_i,\ldots)$ у $U$ и $(\ldots,v_j,\ldots)$ у $V$. Тогда у $U + V$ базисом будет $(\ldots,u_i,\ldots,v_j,\ldots)$, и потому размерность $\dim U+\dim V$, а у $U\otimes V$ базисом будет $(\ldots,u_i\otimes v_j,\ldots)$, и потому размерность $\dim U\dim V$.

[Red_Herring]

Для линейных пространств обычно вместо "прямое произведение" говорят "прямая сумма" и обозначают $U\oplus V$.

[illuminates]

Всё же я под прямой суммой понимаю следующие:
если пересечение линейных подпространств $U$ и $V$ нулевое, то их сумма называется прямой.
Прямое произведение я понимаю, повторюсь, как пространство элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.
А вы меня товарищи чего-то путаете.

[illuminates]

*или я всё путаю. Хотя все определения я взял из одной и той же книжки.

[Sonic86]

illuminates в сообщении #999566 писал(а):

*или я всё путаю.

Конечно.

illuminates в сообщении #999477 писал(а):

Прямое произведение я понимаю, повторюсь, как пространство элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

Ну да? А каков его базис? Если Вы думаете, что базис прямого произведения равен прямому произведению базисов, то Вы ошибаетесь: он очевидно получается линейно зависимым.
Возьмем $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$, базисные векторы $(1;0);(0;1)$ в произведении дадут $e_1=(1;0;1;0);e_2=(1;0;0;1);e_3=(0;1;1;0);e_4=(0;1;0;1);$, ну так очевидно, что $e_1+e_4=e_2+e_3$.
Понятно стало?

[AGu]

На всякий случай... Там опечатка была:

arseniiv в сообщении #999458 писал(а):

конечные пространства

конечномерные

Red_Herring в сообщении #999464 писал(а):

Для линейных пространств обычно вместо "прямое произведение" говорят "прямая сумма" и обозначают $U\oplus V$.

Подтверждаю, термин «прямое произведение» реже встречается. А еще частенько говорят «декартово произведение» и обозначают $U\times V$ (как и для «просто множеств»).

illuminates в сообщении #999477 писал(а):

Всё же я под прямой суммой понимаю следующие:
если пересечение линейных подпространств $U$ и $V$ нулевое, то их сумма называется прямой.

Если быть более точным, то это прямая сумма подпространств или, если угодно, «внутренняя» прямая сумма. А прямая сумма пространств или «внешняя» прямая сумма — это декартово произведение с естественными операциями. (Эти суммы двух видов, кстати, хоть и формально разные, но изоморфные.)

illuminates в сообщении #999477 писал(а):

Прямое произведение я понимаю, повторюсь, как пространство элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

Это синоним прямой суммы пространств. И синоним декартова произведения, кстати.
(Такова местная жизнь. Что касается терминов, то тут «всё сложно». )

[Brukvalub]

Если подпространства уже лежат в некотором объемлющем пространстве и образуют прямую сумму, то их сумма называется "внутренней" прямой суммой. Но из любого конечного набора векторных пространств над одним полем можно сконструировать "внешнюю" прямую сумму, определив покомпонентные операции сложения и умножения на элементы поля на прямом (Декартовом) произведении этих пространств, сначала рассматриваемых как множества. Вот тут и может возникать путаница: в некоторых учебниках (напрмер, Федорчук Курс аналитической геометрии и линейной алгебры) эта конструкция с самого начала называется именно "внешней прямой суммой", а в других (например, Шафаревич, Ремизов Линейная алгебра и геометрия) - начинают со слов "рассмотрим произведение векторных пространств", опуская слово "прямое" или "Декартово".

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Прямое произведение пространств=прямая сумма пространств только если количество пространств конечно.

[AGu]

Oleg Zubelevich в сообщении #999610 писал(а):

Прямое произведение пространств=прямая сумма пространств только если количество пространств конечно.

Кстати, да. Ценное замечание.

[illuminates]

Большое всем спасибо за разъяснения! А могли бы вы помочь состыковать мне в голове две картинки.
1) С одной стороны тензорное произведение и прямая сумма пространств отличается размерностью. $\dim U\dim V$ и $\dim U+\dim V$ соответственно.
2) С другой стороны определение тензорного произведения $S \otimes T: L^* \times ... \times L^* \times L \times ... \times L \rightarrow K$ не видна эта разница с размерностями. Как её узреть?
3) Кроме того есть вопрос. Можно ли взять те же два вектора из примера:

Цитата:

Возьмем $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$, базисные векторы $(1;0);(0;1)$ в произведении дадут $e_1=(1;0;1;0);e_2=(1;0;0;1);e_3=(0;1;1;0);e_4=(0;1;0;1);$, ну так очевидно, что $e_1+e_4=e_2+e_3$.

и написать что будет с ними после тензорного произведения?

[AGu]

illuminates в сообщении #999633 писал(а):

С другой стороны определение тензорного произведения $S \otimes T: L^* \times ... \times L^* \times L \times ... \times L \rightarrow K$ не видна эта разница с размерностями. Как её узреть?

Никак. Вы не то тензорное произведение откопали. Вам нужно тензорное произведение пространств, а не операторов.

[Sonic86]

illuminates в сообщении #999633 писал(а):

3) Кроме того есть вопрос. Можно ли взять те же два вектора из примера:
Цитата:

Возьмем $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$, базисные векторы $(1;0);(0;1)$ в произведении дадут $e_1=(1;0;1;0);e_2=(1;0;0;1);e_3=(0;1;1;0);e_4=(0;1;0;1);$, ну так очевидно, что $e_1+e_4=e_2+e_3$.
и написать что будет с ними после тензорного произведения?

Ну а сами как думаете? Попытайтесь сначала.

[illuminates]

AGu в сообщении #999636 писал(а):

Вы не то тензорное произведение откопали. Вам нужно тензорное произведение пространств, а не операторов.

А почему тогда в книге написано про пространства:



(как я понял на форум можно вставлять выдержки из книг. Извините если понял неправильно)

Sonic86 в сообщении #999637 писал(а):

Ну а сами как думаете? Попытайтесь сначала.

Мой уровень развития позволяет написать следующие:
обозначим $e_1=(1;0); e_2=(0;1)$. Тогда тензорное произведение это: $e_1 \otimes e_2$. А дальше не знаю что писать. Незнаю как проверить что размерность будет равна четырём.

[Sonic86]

illuminates в сообщении #999714 писал(а):

обозначим $e_1=(1;0); e_2=(0;1)$. Тогда тензорное произведение это: $e_1 \otimes e_2$.

Не, у Вас не одно пространство, а два. В одном есть $e_1=(1;0); e_2=(0;1)$, в другом есть $e_3=(1;0); e_4=(0;1)$. Тензорно перемножая, получите 4 вектора $e_i \otimes e_j$, причем базисных.