чем тензорное произведение отличается от прямого

[Munin]

Red_Herring в сообщении #999464 писал(а):

Для линейных пространств обычно вместо "прямое произведение" говорят "прямая сумма" и обозначают $U\oplus V$.

И в итоге, тензорное произведение отличается от прямого примерно тем же, чем обычное умножение от сложения.

[AGu]

illuminates в сообщении #999714 писал(а):

AGu в сообщении #999636 писал(а):

Вы не то тензорное произведение откопали. Вам нужно тензорное произведение пространств, а не операторов.

А почему тогда в книге написано про пространства

Рад бы отвертить, да не могу: на той странице нет тензорного произведения пространств. Это не то определение, которое Вы ищете.

Я не знаю, на каком уровне Вам нужно просечь это понятие, но в любом случае стоит увидеть хотя бы одно нормальное определение тензорного произведения пространств.
Советовать толстые учебники не берусь: это, видимо overkill. (Хотя, может, кто-то знающий и присоветует.)
Если устроит начальный наивный уровнь, то сгодится статья из Wikipedia.
(Только ни в коем случае не открывайте одноименную статью из русской Википедии! Это вредно для математического здоровья.)
Современные строгие определения тензорного произведения векторных пространств так или иначе связаны с билинейными операторами.
В качестве компромисса можно почитать статью «How to lose your fear of tensor products».

[arseniiv]

AGu в сообщении #999595 писал(а):

конечномерные

Точно, спасибо за коррекцию.

[AGu]

Хотел сразу сказать, да забыл...
Вам нужно просечь определение настолько основательно, чтобы понять, что отклик arseniiv является правильным и, наверное, самым адекватным ответом на Ваш вопрос.

[illuminates]

Итого давайте сумировать - ибо я плохо понял.

1) Сеё дело:

Sonic86 в сообщении #999576 писал(а):

Возьмем $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$, базисные векторы $(1;0);(0;1)$ в произведении дадут $e_1=(1;0;1;0);e_2=(1;0;0;1);e_3=(0;1;1;0);e_4=(0;1;0;1);$, ну так очевидно, что $e_1+e_4=e_2+e_3$.

Как я понял, было контрпримером, доказываюшим что моё определение:

Цитата:

Прямое произведение я понимаю, как пространство элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

неверно, так как в этом примере размерность полученого пространства равна трём? Тогда какое определение верное?

2) Далее я хочу убедится что с размерностями всё будет в порядке как написано у

arseniiv в сообщении #999458 писал(а):

возьмём конечномерные пространства $U, V$ и базисы $(\ldots,u_i,\ldots)$ у $U$ и $(\ldots,v_j,\ldots)$ у $V$. Тогда у $U + V$ базисом будет $(\ldots,u_i,\ldots,v_j,\ldots)$, и потому размерность $\dim U+\dim V$, а у $U\otimes V$ базисом будет $(\ldots,u_i\otimes v_j,\ldots)$, и потому размерность $\dim U\dim V$

Честно $(\ldots,u_i,\ldots,v_j,\ldots)$ и $(\ldots,u_i\otimes v_j,\ldots)$ я не понимаю что значит. Может они сокращены?
Давайте хотя бы пример что-бы разобратся рассмотрим. Рассмотрим два трёхмерных пространства с базисами $(e_1^1,e_2^1,e_3^1) (e_1^2,e_2^2,e_3^2) (e_1^3,e_2^3,e_3^3)$ и $(e'_1^1,e'_2^1,e'_3^1) (e'_1^2,e'_2^2,e'_3^2) (e'_1^3,e'_2^3,e'_3^3) $

Напишем прямое произведение. $(e_1^1,e_2^1,e_3^1,e'_1^1,e'_2^1,e'_3^1)$ и т.д.
- получим в итоге девять векторов размерности шесть. (видемо из-за этого можно сделать вывод о линейной зависемости трёх)

Напишем тензорное произведение $(e_1^1 \otimes e'_1^1 ,e_2^1 \otimes e'_2^1 ,e_3^1 \otimes e'_3^1)$ Правильно? Опять шестимерные вектора? Как же мы тогда размерность 9 получим?

[AGu]

Повторяю, до тех пор пока Вы не прочитаете (и не постараетесь понять) хотя бы одно определение тензорного произведения пространств, дискуссия бесполезна. Ни одно из определений в этой теме пока не прозвучало. (А сейчас почти все, что Вы пишете, не имеет смысла. Увы.)

[Добавочка]
Кстати, оказыватся, прямо на dxdy есть такая тема: Еще раз о тензорном произведении, где Padawan нарисовал кучу красивостей. (Я не вчитывался, но ему можно смело доверять.)

[Munin]

illuminates в сообщении #999862 писал(а):

Напишем тензорное произведение $(e_1^1 \otimes e'_1^1 ,e_2^1 \otimes e'_2^1 ,e_3^1 \otimes e'_3^1)$ Правильно? Опять шестимерные вектора?

Неправильно два раза: во-первых, вы написали трёхмерный вектор, а не шестимерный.

А во-вторых, надо "каждый с каждым":
$(e^1\otimes e'^1,e^1\otimes e'^2,e^1\otimes e'^3,e^2\otimes e'^1,e^2\otimes e'^2,e^2\otimes e'^3,e^3\otimes e'^1,e^3\otimes e'^2,e^3\otimes e'^3)$
(где $e^1,e^2,e^3$ - базис первого пространства, а $e'^1,e'^2,e'^3$ - базис второго, а перечислять компоненты этих векторов нет никакого смысла).

-- 04.04.2015 14:54:06 --

На пальцах. Возьмём трёхмерное пространство. Его векторы - это три числа (поговорим пока о пространствах над $\mathbb{R}$), например, $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.$ Пространство таких троек чисел - это пространство произвольных $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.$ Его можно себе представить как прямую сумму подпространств, например, подпространства троек $\begin{pmatrix}a\\0\\a\end{pmatrix},$ подпространства троек $\begin{pmatrix}0\\a\\a\end{pmatrix},$ и подпространства троек $\begin{pmatrix}-a\\-a\\a\end{pmatrix}.$ Это значит, что любой элемент суммарного пространства может быть представлен как сумма элементов пространств-слагаемых, причём единственным образом:

$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(2a-b+c)/3\\0\\(2a-b+c)/3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\(-a+2b+c)/3\\(-a+2b+c)/3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-(-a-b+c)/3\\-(-a-b+c)/3\\(-a-b+c)/3\end{pmatrix}.$$

Возьмём прямую сумму двух таких пространств троек. Её можно представить себе как пространство шестёрок чисел, например, $\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\end{pmatrix}.$ Вообще все числа здесь произвольны, так что в общем виде $\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\e\\f\end{pmatrix}.$

А вот тензорное произведение таких пространств - это пространство девяток чисел, таких как $\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},$ и в общем виде $\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{pmatrix}.$

[illuminates]

спасибо всем откликнувшимся!

[Munin]

Контрольный вопрос: что будет элементами пространства $\mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}^3$?

[illuminates]

Munin
Получим вектор с 27 компонентами (в каждой компоненте сидит тензорное произведение векторов). Правильно? А как в матричном виде записать как у Вас я - не знаю. Если только взять неквадратную матрицу. Скажем [9x3].

[Munin]

Да. В общем, это "кубик" чисел, и его можно записывать "по слоям".