Запись
![$R\;y\;\beta$ $R\;y\;\beta$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/3/e3377812d819163f2c8e6ffa336f079982.png)
означает «повернуть репер вдоль его оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
на угол
![$\beta$ $\beta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/8217ed3c32a785f0b5aad4055f432ad882.png)
».
Может быть "повернуть репер вокруг его оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
..."?
Это я поленился набирать фразу целиком, скопировал предыдущую, и вот результат. Конечно, вокруг оси.
Пока не понятно то, как Вы обозначили в записи движение второго относительно первого... На мой взгляд, получилось, что все три репера имеют свои углы наклона, углы поворота и радиусы относительно "нулевой" аппликаты. То есть, мы получили три независимых винтовых движения, правильно понял?
Движение получается тогда, когда мы начинаем менять параметр
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
. При этом начинают меняться
![$h, \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ $h, \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/b/23b00c912ce1a62486811ee8e3e34f5f82.png)
(линейно от времени).
Реперов здесь аж десять (а то и 11), хотя винтовых линий только три. Это потому, что я разбил построение на совершенно элементарные сдвиги и повороты. Вот, например, как получается первая винтовая линия.
![$\bullet$ $\bullet$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22fcde5697fb6ff191e860c19adb9cf682.png)
Исходный репер, неподвижный.
![$\bullet$ $\bullet$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22fcde5697fb6ff191e860c19adb9cf682.png)
Следующий — движется от него со скоростью
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
вверх. В момент
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
он сдвинулся на
![$h=vt$ $h=vt$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/0/d80235949e839c1761f2587b86ac1fcd82.png)
вдоль оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
. Выше он обозначен (0).
![$\bullet$ $\bullet$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22fcde5697fb6ff191e860c19adb9cf682.png)
Следующий — вращается вокруг оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
предыдущего репера с угловой скоростью
![$\omega_1$ $\omega_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/b/d7b3f21735902404cb0e0d7ba7d13d5f82.png)
, и в момент
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
повернут относительно него на угол
![$\varphi_1=\omega_1 t+\varphi_{10}$ $\varphi_1=\omega_1 t+\varphi_{10}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/e/dfee6c993ab44f885ce9ff6135be96d382.png)
. Но его начало отсчета находится там же.
![$\bullet$ $\bullet$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22fcde5697fb6ff191e860c19adb9cf682.png)
Следующий — сдвинут на
![$r_1$ $r_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/3/14330ec69840636094d5efd1aaa8497c82.png)
относительно предыдущего вдоль его оси
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Но так как предыдущий вращается, то этот тоже вращается. Его начало уже находится на винтовой линии. Он движется по ней, потому что предыдущий репер тоже движется.
![$\bullet$ $\bullet$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22fcde5697fb6ff191e860c19adb9cf682.png)
Следующий — повернут относительно предыдущего на постоянный угол
![$\gamma_1$ $\gamma_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/d/f4d2e02931a81ed37d695634192ebed982.png)
. Его начало находится там же, где и предыдущего, т.е. движется по первой винтовой линии. Вдобавок благодаря повороту его ось
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
направлена по касательной. Выше он обозначен (1).
И так далее.
Так получается движение. Но в каждый фиксированный момент для получения результата (точки на кривой) нужно просто проделать некоторые конкретные сдвиги и повороты.
Как видите, здесь довольно много произвольных констант. Если мы хотим рассматривать не самый общий случай, надо их конкретизировать или связать друг с другом. Некоторые связи очевидны, например,
![$\tg\gamma_1=\frac{\omega_1 r_1}{v}$ $\tg\gamma_1=\frac{\omega_1 r_1}{v}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/a/41adb2dd52198b21ccab9a3d415d7ae082.png)
, другие зависят от Ваших запросов.