Планиметрия, задача про окружности

[lantza]

Цитата:

Окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $A$. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается $\Omega_1$ в точке $B$ и пересекает в точке $C$ общую касательную этих окружностей, проходящую через точку $A$. Прямая, делящая угол $ACO_1$ пополам, пересекает прямые $O_1O_2$ и $BO_1$ в точках $L$ и $D$ соответственно. Найдите $CO_2$, если известно, что $LO_1=2$, а прямые $CO_2$ и $DO_2$ перпендикулярны.

Мой чертеж (огромный только): http://i.imgur.com/chBWRct.png.

Пытаюсь решить эту задачу вот уже три часа. Сил больше нет, никак не понимаю, как найти эту сторону.
Напишу здесь все, что я нашел. На чертеже отмечены точки: $H$ - точка касания общей внешней касательной с окружностью $\Omega_2$, $K$ - точка пересечения прямых $AC_2$ и $DO_2$.

$1)$ Из обычной планиметрии известно, что отрезки касания $O_1B$ и $O_2H$ перпендикулярны прямой $BC$, поэтому $O_1B$ и $O_2H$ параллельны. Далее, $\angle O_1CO_2$ - прямой (доказывается через вписанные углы в двух окружностях, лень это расписывать), $\angle DO_2C$ также прямой по условию. Из этого вытекает, что прямые $O_2D$ и $CO_1$ параллельны. Из параллельности вытекает равенство $\angle O_1CD$ и $\angle CDO_2$, но так как $DC$ - биссектриса $\angle ACO_1$, то $\angle CDO_2=\angle DCA$. Следовательно, треугольник $\triangle CDK$ - равнобедренный.
Из этого ничего интересного для стороны $CO_2$ не вытекает.

$2)$ Треугольники $\triangle ACO_1$ и $\triangle AO_2C$ подобны по двум углам. Из подобия вытекает отношение $\dfrac{CO_1}{AC}=\dfrac{CO_2}{AO_2}$
По свойству биссектрисы $\dfrac{CO_1}{AC}=\dfrac{O_1L}{AL}$.
Из двух последних выражений следует, что $CO_2=\dfrac{O_1L}{AL} \cdot AO_2=2\dfrac{AO_2}{AL}$. Последнее соотношение не могу выразить через подобия других треугольников, что есть в задаче.

$3)$ Ну и самое банальное. Точки $B$, $O_1$, $A$ и $C$ лежат на одной окружности вследствие того, что сумма противоположных углов данного четырехугольника равна $\pi$, причем $O_1C$ является диаметром.
Совершенно аналогично точки $C$, $A$, $O_2$, $H$ лежат на другой окружности, причем $CO_2$ - диаметр.
$D$, $B$, $C$, $O_2$ также лежат на другой, третьей окружности, причем $DC$ - диаметр.


Ничего совершенно из этого не могу найти что-то полезное.

[svv]

На основе Вашего я сделал свой рисунок:
http://s013.radikal.ru/i323/1503/c6/60f223d73198.png
Равные отрезки отмечены одинаковыми черточками.
Все желтые углы равны. Все зеленые углы равны. Все розовые углы равны.
Сумма желтого и зеленого равна $90°$. Розовый равен половине желтого.

Посмотрите, для всех ли равенств, обозначенных на рисунке, Вы понимаете, как их получить? Это будет первый этап.

[lantza]

svv в сообщении #997427 писал(а):

Посмотрите, для всех ли равенств, обозначенных на рисунке, Вы понимаете, как их получить?

Начну с красных черточек. Поскольку отрезки $CB$, $CA$, $CH$ - касательные к окружностям, выходящие из одной точки $C$, то они равны.
Черные черточки: две пары отрезков $O_1B$ и $O_1A$, $AO_2$ и $O_2H$ равны как радиусы соответствующих окружностей $\Omega_1$ и $\Omega_2$.
Розовые углы равны - доказано мною в первом пункте сверху.
Желтые углы: равные хорды отсекают равные дуги, а так как точки $B$, $C$, $A$, $O_1$ лежат на одной окружности (3 пункт сверху) и $O_1A$ и $O_1B$ равны, то на опирающие на эти дуги вписанные углы $O_1CA$ и $O_1CB$ равны. Остальные равенства желтых углов вытекают из прямоугольных треугольников, смежных (ну, или внутренних накрест лежащих) углов.
Зеленые углы: доказывается совершенно аналогично желтым углам для других четырех точек.
Сумма желтого и зеленого равна $90°$, это очевидно из прямоугольного треугольника $O_1O_2C$.

Все это я уже находил у себя и раньше, но появился сюрприз: треугольник $DO_1O_2$ - равнобедренный.
Я совсем безнадежен, ведь я из этого снова ничего не могу найти полезного.

-- 29.03.2015, 19:00 --

Хотя, стоп. Может, какое-то уравнение с углами надо решить? Пусть там, например, $\angle O_1CA=\alpha$, тогда $\dfrac{O_1L}{LA}=\dfrac{O_1C}{AC}=\dfrac{1}{\cos 2\alpha}$, а там еще уголочек $$\angle LDO_2=\alpha$, а равнобедренный треугольник имеет угол и биссектрису.
Так, секундочку.

-- 29.03.2015, 19:46 --

В общем, так. Пусть радиус окружности $\Omega_1$ равен $R$, окружности $\Omega_2$ - $r$, а угол $\angle LDO_2=\alpha$. Тогда из равнобедренного треугольника $\triangle DO_1O_2$ имеем биссектрису, из которой $\dfrac{DO_1}{DO_2}=\dfrac{O_1L}{LO_2}$, т. е. $\dfrac{(R+r)}{2(R+r) \sin 2\alpha}=\dfrac{2}{R+r-2}$.
Из другого треугольника $\triangle O_1CA$ имеем $\dfrac{O_1C}{CA}=\dfrac{O_1L}{LA}$, т. е. $\dfrac{2}{R-2}=\dfrac{1}{\cos 2\alpha}$.
Решая систему (выразив синус из первого уравнения) относительно $R+r$, получаем $R+r=2$.

Что из этого вытекает: $DO_1=O_1O_2=2$, хм. Я где-то ошибаюсь?

[lantza]

А, да, я ошибся. $DL$ в равнобедренном треугольнике $\triangle DO_1O_2$ - не биссектриса.

Ну тогда совершенно не знаю, что делать.

[svv]

На втором этапе нужно, не опираясь на $LO_1=2$, найти углы. Например, так. Пусть $\beta$ — розовый угол.
$\tg\beta=\tg CDO_2=\frac{CO_2}{DO_2}=\frac{CO_2}{2CO_1}$.
$\frac{CA}{CO_1}=\cos ACO_1=\cos 2\beta$
$\frac{CA}{CO_2}=\cos ACO_2=\cos \left(\frac{\pi}{2}-2\beta\right)=\sin 2\beta$
Теперь надо, поделив два последних равенства, выразить $\frac{CO_2}{CO_1}$ через углы и подставить в первое. Может, что-то получится.

[lantza]

svv в сообщении #997907 писал(а):

$\tg\beta=\tg CDO_2=\frac{CO_2}{DO_2}=\frac{CO_2}{2CO_1}$.

Погодите-погодите, а почему это $DO_2=2CO_1$?

[svv]

Подсказка: опустите из $O_1$ на $DO_2$ высоту. Так как $DO_2$ — основание равнобедренного треугольника, эта высота будет и медианой. Дальше?

[lantza]

svv в сообщении #998136 писал(а):

Подсказка: опустите из $O_1$ на $DO_2$ высоту. Так как $DO_2$ — основание равнобедренного треугольника, эта высота будет и медианой. Дальше?

Оу, получится прямоугольник.
Тогда действительно получается уравнение
$\tg 2\beta \tg \beta=\dfrac{1}{2}$
Откуда $\beta=\arctg \dfrac{1}{\sqrt5}$. Получается, что $\sin 2\beta=\dfrac{\sqrt5}{3}$, $\cos 2\beta=\dfrac{2}{3}$.
Значит, $AL=O_1L \cos 2\beta=\dfrac{4}{3}$. Затем $AC=AL \ctg 2\beta=(2+\dfrac{4}{3}) \dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{4\sqrt5}{3}$.
И, наконец,
$CO_2=\dfrac{AC}{\cos(\dfrac{\pi}{2}-2\beta)}=\dfrac{AC}{\sin 2\beta}=\dfrac{4\sqrt5}{3}\cdot \dfrac{3}{\sqrt5}=4$.

Большое спасибо!

[svv]

Да, ответ такой.
Таким образом, углекислый газ ($CO_2$) равен четырём, о чём химики и не догадываются.

[timtam]

Цитата:

треугольник $DO_1O_2$ - равнобедренный.

А можно для тех "кто в танке" пояснить - почему?
(т.е. понятно, этот треугольник равнобедренный как имеющий равные углы при основании).
Но, если для $\angle O_1O_2D$ понятно, почему он "зеленый" (равен $\angle AO_1C$),
то почему $\angle O_2DO_1$ "зеленый"?

И, пожалуйста, как доказывется, что величина $\angle O_1CO_2$ равняется $\pi/2$

[svv]

0. Треугольники $O_1BC$ и $O_1AC$ не просто подобны, а симметричны относительно $O_1C$. Аналогично треугольники $O_2AC$ и $O_2HC$ симметричны относительно $O_2C$. Считаю, что это понятно.

1. Значит, $\angle BO_1C=\angle AO_1C$. Эти углы и равные им обозначаем зеленым. Аналогично $\angle AO_2C=\angle HO_2 C$. Эти углы и равные им обозначаем желтым.

2. Сумма углов четырехугольника $BO_1O_2H$ равна $360°$, но она состоит из двух прямых углов, удвоенного зеленого и удвоенного желтого. Значит, сумма зеленого и желтого равна $90°$.

3. Сумма углов четырехугольника $O_1ACB$ состоит из двух прямых углов, удвоенного зеленого и угла $ACB$. Следовательно, последний — удвоенный желтый. Аналогично сумма углов четырехугольника $O_2ACH$ состоит из двух прямых углов, удвоенного желтого и угла $ACH$. Следовательно, последний — удвоенный зеленый.

4. Значит, $O_1CA$ желтый (симметрия из п.0!) и $O_2CA$ зеленый. Вместе они дают прямой угол $O_1CO_2$.

5. Угол $CO_2O_1$ желтый, тогда $DO_2O_1$ зеленый, как дополняющий его до прямого $CO_2D$.

6. Угол $BO_1O_2$ двойной зеленый, тогда $DO_1O_2$ двойной желтый, как дополняющий его до развернутого.

7. $O_1DO_2$ зеленый, чтобы в сумме с $DO_1O_2$ и $DO_2O_1$ дать $180°$.

[timtam]

svv, Спасибо.

[TOTAL]

$DO_1O_2$ - равнобедренный, поэтому $DO_2 = 2CO_1$, поэтому $LO_2 =2LO_1 = 4$.
$LO_2C$ - равнобедренный, поэтому $CO_2 = LO_2 = 4$.

[lantza]

TOTAL в сообщении #998758 писал(а):

$DO_1O_2$ - равнобедренный, поэтому $DO_2 = 2CO_1$, поэтому $LO_2 =2LO_1 = 4$.
$LO_2C$ - равнобедренный, поэтому $CO_2 = LO_2 = 4$.

Да, так действительно проще.

[timtam]

TOTAL в сообщении #998758 писал(а):

$DO_1O_2$ - равнобедренный, поэтому $DO_2 = 2CO_1$, поэтому $LO_2 =2LO_1 = 4$.
$LO_2C$ - равнобедренный, поэтому $CO_2 = LO_2 = 4$.

Поясните пожалуйста - почему $LO_2 =2LO_1$

Не совсем понятно также почему $LO_2C$ - равнобедренный