2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Планиметрия, задача про окружности
Сообщение28.03.2015, 10:43 


15/11/14
111
Цитата:
Окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $A$. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается $\Omega_1$ в точке $B$ и пересекает в точке $C$ общую касательную этих окружностей, проходящую через точку $A$. Прямая, делящая угол $ACO_1$ пополам, пересекает прямые $O_1O_2$ и $BO_1$ в точках $L$ и $D$ соответственно. Найдите $CO_2$, если известно, что $LO_1=2$, а прямые $CO_2$ и $DO_2$ перпендикулярны.


Мой чертеж (огромный только): http://i.imgur.com/chBWRct.png.

Пытаюсь решить эту задачу вот уже три часа. Сил больше нет, никак не понимаю, как найти эту сторону.
Напишу здесь все, что я нашел. На чертеже отмечены точки: $H$ - точка касания общей внешней касательной с окружностью $\Omega_2$, $K$ - точка пересечения прямых $AC_2$ и $DO_2$.

$1)$ Из обычной планиметрии известно, что отрезки касания $O_1B$ и $O_2H$ перпендикулярны прямой $BC$, поэтому $O_1B$ и $O_2H$ параллельны. Далее, $\angle O_1CO_2$ - прямой (доказывается через вписанные углы в двух окружностях, лень это расписывать), $\angle DO_2C$ также прямой по условию. Из этого вытекает, что прямые $O_2D$ и $CO_1$ параллельны. Из параллельности вытекает равенство $\angle O_1CD$ и $\angle CDO_2$, но так как $DC$ - биссектриса $\angle ACO_1$, то $\angle CDO_2=\angle DCA$. Следовательно, треугольник $\triangle CDK$ - равнобедренный.
Из этого ничего интересного для стороны $CO_2$ не вытекает.

$2)$ Треугольники $\triangle ACO_1$ и $\triangle AO_2C$ подобны по двум углам. Из подобия вытекает отношение $\dfrac{CO_1}{AC}=\dfrac{CO_2}{AO_2}$
По свойству биссектрисы $\dfrac{CO_1}{AC}=\dfrac{O_1L}{AL}$.
Из двух последних выражений следует, что $CO_2=\dfrac{O_1L}{AL} \cdot AO_2=2\dfrac{AO_2}{AL}$. Последнее соотношение не могу выразить через подобия других треугольников, что есть в задаче.

$3)$ Ну и самое банальное. Точки $B$, $O_1$, $A$ и $C$ лежат на одной окружности вследствие того, что сумма противоположных углов данного четырехугольника равна $\pi$, причем $O_1C$ является диаметром.
Совершенно аналогично точки $C$, $A$, $O_2$, $H$ лежат на другой окружности, причем $CO_2$ - диаметр.
$D$, $B$, $C$, $O_2$ также лежат на другой, третьей окружности, причем $DC$ - диаметр.


Ничего совершенно из этого не могу найти что-то полезное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение29.03.2015, 17:27 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
На основе Вашего я сделал свой рисунок:
http://s013.radikal.ru/i323/1503/c6/60f223d73198.png
Равные отрезки отмечены одинаковыми черточками.
Все желтые углы равны. Все зеленые углы равны. Все розовые углы равны.
Сумма желтого и зеленого равна $90°$. Розовый равен половине желтого.

Посмотрите, для всех ли равенств, обозначенных на рисунке, Вы понимаете, как их получить? Это будет первый этап.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение29.03.2015, 18:55 


15/11/14
111
svv в сообщении #997427 писал(а):
Посмотрите, для всех ли равенств, обозначенных на рисунке, Вы понимаете, как их получить?

Начну с красных черточек. Поскольку отрезки $CB$, $CA$, $CH$ - касательные к окружностям, выходящие из одной точки $C$, то они равны.
Черные черточки: две пары отрезков $O_1B$ и $O_1A$, $AO_2$ и $O_2H$ равны как радиусы соответствующих окружностей $\Omega_1$ и $\Omega_2$.
Розовые углы равны - доказано мною в первом пункте сверху.
Желтые углы: равные хорды отсекают равные дуги, а так как точки $B$, $C$, $A$, $O_1$ лежат на одной окружности (3 пункт сверху) и $O_1A$ и $O_1B$ равны, то на опирающие на эти дуги вписанные углы $O_1CA$ и $O_1CB$ равны. Остальные равенства желтых углов вытекают из прямоугольных треугольников, смежных (ну, или внутренних накрест лежащих) углов.
Зеленые углы: доказывается совершенно аналогично желтым углам для других четырех точек.
Сумма желтого и зеленого равна $90°$, это очевидно из прямоугольного треугольника $O_1O_2C$.

Все это я уже находил у себя и раньше, но появился сюрприз: треугольник $DO_1O_2$ - равнобедренный.
Я совсем безнадежен, ведь я из этого снова ничего не могу найти полезного. :-(

-- 29.03.2015, 19:00 --

Хотя, стоп. Может, какое-то уравнение с углами надо решить? Пусть там, например, $\angle O_1CA=\alpha$, тогда $\dfrac{O_1L}{LA}=\dfrac{O_1C}{AC}=\dfrac{1}{\cos 2\alpha}$, а там еще уголочек $$\angle LDO_2=\alpha$, а равнобедренный треугольник имеет угол и биссектрису.
Так, секундочку.

-- 29.03.2015, 19:46 --

В общем, так. Пусть радиус окружности $\Omega_1$ равен $R$, окружности $\Omega_2$ - $r$, а угол $\angle LDO_2=\alpha$. Тогда из равнобедренного треугольника $\triangle DO_1O_2$ имеем биссектрису, из которой $\dfrac{DO_1}{DO_2}=\dfrac{O_1L}{LO_2}$, т. е. $\dfrac{(R+r)}{2(R+r) \sin 2\alpha}=\dfrac{2}{R+r-2}$.
Из другого треугольника $\triangle O_1CA$ имеем $\dfrac{O_1C}{CA}=\dfrac{O_1L}{LA}$, т. е. $\dfrac{2}{R-2}=\dfrac{1}{\cos 2\alpha}$.
Решая систему (выразив синус из первого уравнения) относительно $R+r$, получаем $R+r=2$.

Что из этого вытекает: $DO_1=O_1O_2=2$, хм. Я где-то ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение30.03.2015, 12:52 


15/11/14
111
А, да, я ошибся. $DL$ в равнобедренном треугольнике $\triangle DO_1O_2$ - не биссектриса.

Ну тогда совершенно не знаю, что делать. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение30.03.2015, 13:39 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
На втором этапе нужно, не опираясь на $LO_1=2$, найти углы. Например, так. Пусть $\beta$ — розовый угол.
$\tg\beta=\tg CDO_2=\frac{CO_2}{DO_2}=\frac{CO_2}{2CO_1}$.
$\frac{CA}{CO_1}=\cos ACO_1=\cos 2\beta$
$\frac{CA}{CO_2}=\cos ACO_2=\cos \left(\frac{\pi}{2}-2\beta\right)=\sin 2\beta$
Теперь надо, поделив два последних равенства, выразить $\frac{CO_2}{CO_1}$ через углы и подставить в первое. Может, что-то получится. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение30.03.2015, 16:08 


15/11/14
111
svv в сообщении #997907 писал(а):
$\tg\beta=\tg CDO_2=\frac{CO_2}{DO_2}=\frac{CO_2}{2CO_1}$.

Погодите-погодите, а почему это $DO_2=2CO_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение30.03.2015, 19:57 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
Подсказка: опустите из $O_1$ на $DO_2$ высоту. Так как $DO_2$ — основание равнобедренного треугольника, эта высота будет и медианой. Дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение31.03.2015, 04:46 


15/11/14
111
svv в сообщении #998136 писал(а):
Подсказка: опустите из $O_1$ на $DO_2$ высоту. Так как $DO_2$ — основание равнобедренного треугольника, эта высота будет и медианой. Дальше?

Оу, получится прямоугольник.
Тогда действительно получается уравнение
$\tg 2\beta \tg \beta=\dfrac{1}{2}$
Откуда $\beta=\arctg \dfrac{1}{\sqrt5}$. Получается, что $\sin 2\beta=\dfrac{\sqrt5}{3}$, $\cos 2\beta=\dfrac{2}{3}$.
Значит, $AL=O_1L \cos 2\beta=\dfrac{4}{3}$. Затем $AC=AL \ctg 2\beta=(2+\dfrac{4}{3}) \dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{4\sqrt5}{3}$.
И, наконец,
$CO_2=\dfrac{AC}{\cos(\dfrac{\pi}{2}-2\beta)}=\dfrac{AC}{\sin 2\beta}=\dfrac{4\sqrt5}{3}\cdot \dfrac{3}{\sqrt5}=4$.

Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение31.03.2015, 13:13 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
Да, ответ такой.
Таким образом, углекислый газ ($CO_2$) равен четырём, о чём химики и не догадываются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение31.03.2015, 17:18 


04/03/15
48
Цитата:
треугольник $DO_1O_2$ - равнобедренный.


А можно для тех "кто в танке" пояснить - почему?
(т.е. понятно, этот треугольник равнобедренный как имеющий равные углы при основании).
Но, если для $\angle O_1O_2D$ понятно, почему он "зеленый" (равен $\angle AO_1C$),
то почему $\angle O_2DO_1$ "зеленый"?

И, пожалуйста, как доказывется, что величина $\angle O_1CO_2$ равняется $\pi/2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение31.03.2015, 19:05 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
0. Треугольники $O_1BC$ и $O_1AC$ не просто подобны, а симметричны относительно $O_1C$. Аналогично треугольники $O_2AC$ и $O_2HC$ симметричны относительно $O_2C$. Считаю, что это понятно.

1. Значит, $\angle BO_1C=\angle AO_1C$. Эти углы и равные им обозначаем зеленым. Аналогично $\angle AO_2C=\angle HO_2 C$. Эти углы и равные им обозначаем желтым.

2. Сумма углов четырехугольника $BO_1O_2H$ равна $360°$, но она состоит из двух прямых углов, удвоенного зеленого и удвоенного желтого. Значит, сумма зеленого и желтого равна $90°$.

3. Сумма углов четырехугольника $O_1ACB$ состоит из двух прямых углов, удвоенного зеленого и угла $ACB$. Следовательно, последний — удвоенный желтый. Аналогично сумма углов четырехугольника $O_2ACH$ состоит из двух прямых углов, удвоенного желтого и угла $ACH$. Следовательно, последний — удвоенный зеленый.

4. Значит, $O_1CA$ желтый (симметрия из п.0!) и $O_2CA$ зеленый. Вместе они дают прямой угол $O_1CO_2$.

5. Угол $CO_2O_1$ желтый, тогда $DO_2O_1$ зеленый, как дополняющий его до прямого $CO_2D$.

6. Угол $BO_1O_2$ двойной зеленый, тогда $DO_1O_2$ двойной желтый, как дополняющий его до развернутого.

7. $O_1DO_2$ зеленый, чтобы в сумме с $DO_1O_2$ и $DO_2O_1$ дать $180°$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение31.03.2015, 19:17 


04/03/15
48
svv, Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение01.04.2015, 05:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
$DO_1O_2$ - равнобедренный, поэтому $DO_2 = 2CO_1$, поэтому $LO_2 =2LO_1 = 4$.
$LO_2C$ - равнобедренный, поэтому $CO_2 = LO_2 = 4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение01.04.2015, 12:50 


15/11/14
111
TOTAL в сообщении #998758 писал(а):
$DO_1O_2$ - равнобедренный, поэтому $DO_2 = 2CO_1$, поэтому $LO_2 =2LO_1 = 4$.
$LO_2C$ - равнобедренный, поэтому $CO_2 = LO_2 = 4$.

Да, так действительно проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача про окружности
Сообщение01.04.2015, 16:29 


04/03/15
48
TOTAL в сообщении #998758 писал(а):
$DO_1O_2$ - равнобедренный, поэтому $DO_2 = 2CO_1$, поэтому $LO_2 =2LO_1 = 4$.
$LO_2C$ - равнобедренный, поэтому $CO_2 = LO_2 = 4$.

Поясните пожалуйста - почему $LO_2 =2LO_1$

Не совсем понятно также почему $LO_2C$ - равнобедренный

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group