Об одной задаче базового уровня ЕГЭ по математике

[m1967lj]

В книге «ЕГЭ 2015. Математика. Базовый уровень. Типовые текстовые задания» (авторы А.В.Забелин и др., п/ред. И.В.Ященко, М: «Экзамен», 2015) на с.63 приведена следующая задача.
"В классе 33 учащихся, среди них два друга - Вадим и Сергей.
Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы.
Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе".

Если бы эта задача была размещена в сборнике ЕГЭ профильного уровня,
то можно было бы предложить надежное решение с помощью сочетаний — например, введя искусственную нумерацию групп по ходу их формирования.
А именно: число вариантов состава первой группы $n_1=C _{33}^{11}$; число вариантов состава второй группы $n_2=C _{22}^{11}$.
Тогда число вариантов разбиения всех учащихся на три равные группы $n=n_1n_2$ — это и есть число всех элементарных исходов опыта.
Из этого общего числа исходов количество благоприятных (таких, где друзья в одной группе) $m=3 C _{31}^{9} C _{22}^{11}$. Отсюда искомая вероятность $\frac mn=0,3125$.
Именно такой ответ и приведен в книге.

Однако это сборник заданий базового уровня. Там в ряде вариантов задачи на вероятность настолько просты, что по плечу толковому семикласснику. Поэтому попробуем решать так, как будто мы не располагаем знаниями о сочетаниях и факториалах.
В этой ситуации я вижу два способа.
Один из них ведет к прежнему ответу. А именно:
представим себе 3 помещения по 11 мест в каждом. Друзей произвольным образом раскидывают по местам. При этом мы можем считать, что один из друзей уже занял какое-то место, и вопрос сводится к тому, какова вероятность, что второй друг попадет в то же помещение. Тогда число всех элементарных исходов 32, из них благоприятных 10.
Отсюда искомая вероятность равна $\frac {10}{32}=0,3125$.
Однако есть и другой способ. А именно:
представим себе 3 помещения. Друзей произвольным образом раскидывают по этим помещениям. Тогда число всех элементарных исходов 9, из них благоприятных 3. Искомая вероятность равна $\frac 13$.
При сравнении двух последних способов (и при условии неиспользования указанного в начале надежного решения) я не вижу аргументов в пользу какого-либо из них.
Мой вывод такой: данная задача не подходит для базового уровня ЕГЭ . А каково мнение коллег?

[Pphantom]

m1967lj в сообщении #997410 писал(а):

При сравнении двух последних способов (и при условии неиспользования указанного в начале надежного решения) я не вижу аргументов в пользу какого-либо из них.

Для того, чтобы найти разницу, вполне достаточно догадаться, что один из друзей, заняв место, уменьшает вероятность для второго попасть туда же. Так что почему бы и нет? Если полное первое решение оценивается 4 баллами, то за второе можно ставить, например, 3.

[m1967lj]

Pphantom в сообщении #997420 писал(а):

один из друзей, заняв место, уменьшает вероятность для второго попасть туда же. Так что почему бы и нет? Если полное первое решение оценивается 4 баллами, то за второе можно ставить, например, 3.

Хотел бы обратить внимание, что в последнем способе "Друзей произвольным образом раскидывают по этим помещениям". Следовательно, при таком способе "раскидывания" не имеет значения, сколько там свободных мест.
Кроме того, в базовом уровне (как и в первых 14 задачах профильного уровня) либо ответ правильный, и тогда за задачу засчитывается 1 первичный балл, либо неправильный, и тогда за нее засчитывается 0 баллов.

[Otta]

m1967lj в сообщении #997426 писал(а):

Кроме того, в базовом уровне (как и первых 14 задачах профильного уровня) либо ответ правильный, и тогда за задачу засчитывается 1 первичный балл, либо неправильный, и тогда за нее засчитывается 0 баллов.

За второй способ будет стоять ноль баллов. На выбранном пространстве элементарных исходов элементарные исходы не являются равновероятными, и классическую схему применить не удастся.

Собственно, при попытке убедиться, что они не являются равновероятными, становится ясно, в чем неудачность выбора: придется считать именно те вероятности, которые требует задача.

Интуитивно же все именно так, как было сказано выше - выбор одним первой группы снижает вероятность попадания второго в ту же группу, поэтому равными (как это получается во втором способе) вероятности попадания в каждую группу быть не могут.

Первый способ весьма удовлетворителен, непонятно, что вызывает настороженность. Хотите формул - их есть у меня.

Закидываем первого в первую группу, закидываем второго в первую группу, вспоминаем, что групп три:
$\frac{11}{33}\cdot\frac{10}{32}\cdot 3=\frac{10}{32}$. Это лучше Вашего решения разве только тем, что универсальней.

[Pphantom]

m1967lj в сообщении #997426 писал(а):

Хотел бы обратить внимание, что в последнем способе "Друзей произвольным образом раскидывают по этим помещениям". Следовательно, при таком способе "раскидывания" не имеет значения, сколько там свободных мест.

И что? Это неверное решение. Формально можно раскидать всех случайным образом, но тогда потом надо будет накладывать дополнительное условие о количестве людей в каждом помещении.

m1967lj в сообщении #997426 писал(а):

Кроме того, в базовом уровне (как и в первых 14 задачах профильного уровня) либо ответ правильный, и тогда за задачу засчитывается 1 первичный балл, либо неправильный, и тогда за нее засчитывается 0 баллов.

Да, тогда, пожалуй, это не самая подходящая задача. Но все же допустимая. В таком случае за второй вариант решения просто ставится 0.

[мат-ламер]

m1967lj в сообщении #997410 писал(а):

Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы.

Меня уже это предложение вогнало в ступор. Подождём пока подойдёт ms и объяснит, какое тут пространство элементарных событий.

[Otta]

Чего тут вгоняться, стандартная урновая схема без возвращения.

[m1967lj]

мат-ламер в сообщении #997440 писал(а):

m1967lj в сообщении #997410 писал(а):

Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы.

Меня уже это предложение вогнало в ступор. Подождём пока подойдёт ms и объяснит, какое тут пространство элементарных событий.

Процитированный фрагмент задачи придуман не мной, а авторами книги, о которой идет речь. Так что вряд ли я несу за него ответственность.

[мат-ламер]

Otta в сообщении #997443 писал(а):

Чего тут вгоняться, стандартная урновая схема без возвращения.

Урновая схема - это о том как вынимать шары. А тут вопрос - как раскидали случайно по группам.

[Otta]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #997455 писал(а):

Урновая схема - это о том как вынимать шары. А тут вопрос - как раскидали случайно по группам.

Это Вы ее готовить не умеете.

[m1967lj]

Otta в сообщении #997431 писал(а):

Первый способ весьма удовлетворителен, непонятно, что вызывает настороженность.

Настороженность вызывает не первый способ сам по себе, а наличие у него конкурента.

Цитата:

На выбранном пространстве элементарных исходов элементарные исходы не являются равновероятными, и классическую схему применить не удастся.

Понятно, что такой вывод можно сделать, "подглядывая" в решение с сочетаниями. Но без подглядывания - на чем будет основан такой вывод?

-- 29.03.2015, 18:16 --

Pphantom в сообщении #997435 писал(а):

Формально можно раскидать всех случайным образом, но тогда потом надо будет накладывать дополнительное условие о количестве людей в каждом помещении.

Да, но в последнем способе решения раскидывают не всех, а только двух друзей.

[мат-ламер]

Я немного намудрил. Какое тут пространство элементарных событий и каким образом всех раскидывали - абсолютно неважно. Важно как раскидывали двух друзей. Первого, не теряя общности, можно сразу определить в первую группу. А для второго остаётся 32 равновероятных места (из которых 10 благоприятных).

[Otta]

m1967lj в сообщении #997457 писал(а):

Понятно, что такой вывод можно сделать, "подглядывая" в решение с сочетаниями. Но без подглядывания - на чем будет основан такой вывод?

Еще раз:

Otta в сообщении #997431 писал(а):

Интуитивно же все именно так, как было сказано выше - выбор одним первой группы снижает вероятность попадания второго в ту же группу, поэтому равными (как это получается во втором способе) вероятности попадания в каждую группу быть не могут.

А попадание вторым в другую - такое же, как первым в первую. То есть двойки $(1,1)$ и $(1,2)$ неравновероятны - выбор второй единицы возможен с меньшей вероятностью, чем выбор двойки на втором месте.

[ewert]

А я вот не понимаю. В стандартной школьной программе, насколько мне известно, до сегодняшнего дня мало-мальски содержательной ТВ не имелось. Имелись лишь задачки тупо типа на $\frac{m}{n}$. А сегодня что -- всё тут усложнилось?...

[Otta]

ewert
Откровенный $m/n$ - это уже в ГИА есть.
Могу диагностическую работу выложить для базового уровня, надо? если интересно, конечно.