2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проекция на подпространство
Сообщение29.03.2015, 15:35 


26/04/14
68
Минск
Здравствуйте. Не могу решить задачу. В гильбертовом пространстве $l_2$ найти проекцию элемента $x_0=(0, 1, 10, ... ) \in l_2$ на подпространство $L=\left \{x \in l_2: x_2=0, \sum_{k=3}^{\infty}\frac{x_k}{3^k}=0 \right \}$.

Я рассуждал так. Взял вектор $z=(0, \alpha, \frac{1}{3^3}, \frac{1}{3^4}, ... ) \in l_2$. Это такой вектор, что $(z, x)=\sum_{k=3}^{\infty}z_kx_k=0x_1+\alpha 0 + \sum_{k=3}^{\infty}\frac{x_k}{3^k}=0$. Он ортогонален всем векторам из $L$. Тогда проекцию $y \in L$ такую, что $(x_0-y, l)=0 \forall l \in L$, я находил как $y=x_0-z=(0, 1-\alpha, 1-\frac{1}{3^3}, -\frac{1}{3^4}, ... )$. Отсюда получаю, что $\alpha = 1$. Но не выполняется второе условие подпространства, а именно $\frac{1-\frac{1}{3^3}}{3^3} - \sum_{k=4}^{\infty}\frac{1}{3^{2k}} \ne 0$, т.е $z \notin L$.

Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение29.03.2015, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Вы почему-то решили, что ортогональное дополнение - одномерно. Но подпространство задано 2-мя независимыми условиями, поэтому ортогональное дополнение, как минимум, двумерно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение29.03.2015, 16:41 


26/04/14
68
Минск
Brukvalub в сообщении #997398 писал(а):
как минимум, двумерно.


Я подозревал, что нашел не все векторы из ортогонального дополнения. Подскажите, пожалуйста, как найти остальные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение29.03.2015, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Умножьте свой вектор на 2, вот и будет другой вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение29.03.2015, 16:56 


26/04/14
68
Минск
ИСН в сообщении #997405 писал(а):
Умножьте свой вектор на 2, вот и будет другой вектор.


Аааа... То есть ортогональное дополнение будет состоять из векторов $y=(0, \alpha, \frac{\beta}{3^3}, \frac{\beta}{3^4}, ... )$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение29.03.2015, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Лучше определить размерность ортогонального дополнения, после чего найти в этом дополнении (ортонормированный) базис.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение29.03.2015, 17:53 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
HenryDukart в сообщении #997382 писал(а):
Он ортогонален всем векторам из $L$.

Это правда. Однако обратите внимание, что условие $x_2=0$ тоже есть некое условие ортогональности.

Итак, у Вас есть уже базис в подпространстве, на которое требуется спроецировать. Пардон, в ортогональном дополнении к нему. Ну так спроецируйте по шаблону на ортогональное дополнение и вычтите.

(я, правда, не понял, что означает многоточие после десятки; но это можно и домыслить, в конце концов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение29.03.2015, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
ewert в сообщении #997444 писал(а):
...
(я, правда, не понял, что означает многоточие после десятки; но это можно и домыслить, в конце концов)

Это не тройка, семерка, туз десятка, там между единичкой и нулем запятая потерялась.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group