Проекция на подпространство

[HenryDukart]

Здравствуйте. Не могу решить задачу. В гильбертовом пространстве $l_2$ найти проекцию элемента $x_0=(0, 1, 10, ... ) \in l_2$ на подпространство $L=\left \{x \in l_2: x_2=0, \sum_{k=3}^{\infty}\frac{x_k}{3^k}=0 \right \}$.

Я рассуждал так. Взял вектор $z=(0, \alpha, \frac{1}{3^3}, \frac{1}{3^4}, ... ) \in l_2$. Это такой вектор, что $(z, x)=\sum_{k=3}^{\infty}z_kx_k=0x_1+\alpha 0 + \sum_{k=3}^{\infty}\frac{x_k}{3^k}=0$. Он ортогонален всем векторам из $L$. Тогда проекцию $y \in L$ такую, что $(x_0-y, l)=0 \forall l \in L$, я находил как $y=x_0-z=(0, 1-\alpha, 1-\frac{1}{3^3}, -\frac{1}{3^4}, ... )$. Отсюда получаю, что $\alpha = 1$. Но не выполняется второе условие подпространства, а именно $\frac{1-\frac{1}{3^3}}{3^3} - \sum_{k=4}^{\infty}\frac{1}{3^{2k}} \ne 0$, т.е $z \notin L$.

Помогите, пожалуйста.

[Brukvalub]

Вы почему-то решили, что ортогональное дополнение - одномерно. Но подпространство задано 2-мя независимыми условиями, поэтому ортогональное дополнение, как минимум, двумерно.

[HenryDukart]

Brukvalub в сообщении #997398 писал(а):

как минимум, двумерно.

Я подозревал, что нашел не все векторы из ортогонального дополнения. Подскажите, пожалуйста, как найти остальные.

[ИСН]

Умножьте свой вектор на 2, вот и будет другой вектор.

[HenryDukart]

ИСН в сообщении #997405 писал(а):

Умножьте свой вектор на 2, вот и будет другой вектор.

Аааа... То есть ортогональное дополнение будет состоять из векторов $y=(0, \alpha, \frac{\beta}{3^3}, \frac{\beta}{3^4}, ... )$?

[Brukvalub]

Лучше определить размерность ортогонального дополнения, после чего найти в этом дополнении (ортонормированный) базис.

[ewert]

HenryDukart в сообщении #997382 писал(а):

Он ортогонален всем векторам из $L$.

Это правда. Однако обратите внимание, что условие $x_2=0$ тоже есть некое условие ортогональности.

Итак, у Вас есть уже базис в подпространстве, на которое требуется спроецировать. Пардон, в ортогональном дополнении к нему. Ну так спроецируйте по шаблону на ортогональное дополнение и вычтите.

(я, правда, не понял, что означает многоточие после десятки; но это можно и домыслить, в конце концов)

[Brukvalub]

ewert в сообщении #997444 писал(а):

...
(я, правда, не понял, что означает многоточие после десятки; но это можно и домыслить, в конце концов)

Это не тройка, семерка, туз десятка, там между единичкой и нулем запятая потерялась.