Теория Гомотопий. Теорема "пропуске" гомотопии.

[phoboslol]

Доброго времени суток,

Помогите пожалуйста доказать одну теорему или же её вариацию:
Пусть $X$ — конечное клеточное пространство с отмеченной точкой. $X_{k,f}$ — конечные модели этого пространства (конечные топ. пространства, построенные стягиванием каждой клетки в точку, вместе со слабой гомотопической эквивалентностью), где вместе с $k$ увеличивается количество клеток в пространстве.
1. Гомотопия $H:X \times I \to Y_f$ может быть пропущена через $X_{k,f} \times I$ для достаточно большого $k$, то есть существует такое отображение $H':X_{k,f} \times I \to M$, где $M$ есть конечно топ. пространство, что $H \sim H' \circ p$, где $p: X\times I \to X_{k,f} \times I$ и для любого фиксированного $t$ функция $p_t(x)$ есть слабая гомотопическая эквивалентность $X$ и $X_{k,f}$.
2. Рассмотрим отображения $f,g:X_{k,f} \to M$ и $p:X \to X_{k,f}$ (слабая гомотопическая эквивалентность). Если $f \circ p \sim g \circ p$ с гомотопией $H:X \times I \to M$, тогда существует гомотопия $F':X_{k,f} \times I \to M$, которая обеспечивает гомотопность $f$ и $g$.

Ранее уже была доказана одна похожая теорема о том, что каждое отображение $f:X \to M$ (M — конечное топ. пр-во) может быть пропущено через $X_{k,f}$ для достаточно большого $k$, то есть существует отображение $\overline{f}:X_{k,f} \to M$ такое, что $f \sim \overline{f} \circ p$, где $p:X \to X_{k,f}$ — с. г. э.

Она доказывает при помощи построения нужного отображения, а их гомотопность вытекает их уже доказанной леммы:
Пусть $X,\ K$ — топологические пространства с отмеченной точкой. Предположим, что $K$ конечно и в нём выполняется $T_0$. Пусть отображения $f,g:X \to K$ непрерывны и для любых $x \in X$ выполнено $f(x) \in \overline{g(x)}$. Тогда они гомотопны.

Теормы 1. и 2. должны доказываться похожим образом, но проблема в том, что в теореме про пропуск отображения в клеточном пространстве отмечена одна точка, а в теоремах отмечены целые подмножества $(X \times \lbrace 0,1\rbrace) \cup (\lbrace x_0 \rbrace \times [0,1])$, где $x_0$ — отмеченная точка $X$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»