Уравнение

[VladQ]

Доброго времени суток!

У меня возник один вопрос, который никак не могу уже долгое время решить.
Есть уравнение:
$a^x = \log_bx\\a, b = \operatorname{const} > 0$

Каким образом можно аналитически найти корень/корни такого уравнения?
Найти приближенные значения можно через разложение в степенные ряды, но как получить точное - идей нет.
Возможно наличие либо 0, либо 1, либо 2 корней.

Если $a = b$, то получаем: $x = f(f(x))$, где $f(x) = \log_ax$. Можно говорить о том, что логарифмическая функция является обратной к показательной.

Укажите верное направление, пожалуйста.

[Cash]

VladQ в сообщении #997116 писал(а):

Возможно наличие либо 0, либо 1, либо 2 корней.

А сколько корней при $a=b=\frac 1{16}$?

[VladQ]

WolframAlpha выдал 3 корня.

Честно не совсем понимаю, как такое возможно. Но, допустим, такое уравнение имеет сколько угодно корней (страшно категорически заявлять, что будет либо 0, либо 1, либо 2, либо 3 корня). Как их найти?

[Brukvalub]

В общем случае - только численно.

[VladQ]

Как тогда можно доказать то, что такое уравнение имеет только численное решение?

[Brukvalub]

Такие "доказательства" никому не нужны, поэтому техники подобных доказательств не наработано. Из практики решения трансцендентных уравнений вытекает, что для почти всех их, кроме специально подобранных упражнений для школьников, нет элементарной функции, выражающей их решение через коэффициенты. Поэтому тот, кому нужно решить такое уравнение в ходе решения не учебной, а практической задачи, обычно довольствуется численным решением.
Если угодно, то Третейским судьей здесь могут выступать пакеты символьных вычислений: если они не хотят выписывать формульное решение или пишут комбинацию спец.функций, то дело поиска решения в виде элементарной функции - безнадежное.

[Cash]

VladQ в сообщении #997201 писал(а):

Как тогда можно доказать то, что такое уравнение имеет только численное решение?

Вы не те вопросы задаете. Практически не важно как вычислять корни - через красивую функцию или численным методом. А важно количество корней, их локализация.
Вот перед Вами всплыл факт, что вопреки Вашим представлениям, уравнение может иметь 3 корня. Так разберитесь с этим, почему так? А больше может? Вот это ведь интересно. А вы каких-то химер поймать пытаетесь.

[VladQ]

Cash, это действительно интересно. Где начать копать?

Понимаю, что, в принципе, не важен метод. Но интересно есть ли способ выражения через элементарную функцию или нет. Как я понял - вряд ли существует.