2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение
Сообщение28.03.2015, 21:56 


28/03/15
5
Доброго времени суток!

У меня возник один вопрос, который никак не могу уже долгое время решить.
Есть уравнение:
$a^x = \log_bx\\a, b = \operatorname{const} > 0$

Каким образом можно аналитически найти корень/корни такого уравнения?
Найти приближенные значения можно через разложение в степенные ряды, но как получить точное - идей нет.
Возможно наличие либо 0, либо 1, либо 2 корней.

Если $a = b$, то получаем: $x = f(f(x))$, где $f(x) = \log_ax$. Можно говорить о том, что логарифмическая функция является обратной к показательной.

Укажите верное направление, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение
Сообщение28.03.2015, 22:58 
Заслуженный участник


12/09/10
1503
VladQ в сообщении #997116 писал(а):
Возможно наличие либо 0, либо 1, либо 2 корней.

А сколько корней при $a=b=\frac 1{16}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение
Сообщение28.03.2015, 23:56 


28/03/15
5
WolframAlpha выдал 3 корня.

Честно не совсем понимаю, как такое возможно. Но, допустим, такое уравнение имеет сколько угодно корней (страшно категорически заявлять, что будет либо 0, либо 1, либо 2, либо 3 корня). Как их найти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение
Сообщение28.03.2015, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
В общем случае - только численно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение
Сообщение29.03.2015, 01:52 


28/03/15
5
Как тогда можно доказать то, что такое уравнение имеет только численное решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение
Сообщение29.03.2015, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Такие "доказательства" никому не нужны, поэтому техники подобных доказательств не наработано. Из практики решения трансцендентных уравнений вытекает, что для почти всех их, кроме специально подобранных упражнений для школьников, нет элементарной функции, выражающей их решение через коэффициенты. Поэтому тот, кому нужно решить такое уравнение в ходе решения не учебной, а практической задачи, обычно довольствуется численным решением.
Если угодно, то Третейским судьей здесь могут выступать пакеты символьных вычислений: если они не хотят выписывать формульное решение или пишут комбинацию спец.функций, то дело поиска решения в виде элементарной функции - безнадежное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение
Сообщение29.03.2015, 11:55 
Заслуженный участник


12/09/10
1503
VladQ в сообщении #997201 писал(а):
Как тогда можно доказать то, что такое уравнение имеет только численное решение?

Вы не те вопросы задаете. Практически не важно как вычислять корни - через красивую функцию или численным методом. А важно количество корней, их локализация.
Вот перед Вами всплыл факт, что вопреки Вашим представлениям, уравнение может иметь 3 корня. Так разберитесь с этим, почему так? А больше может? Вот это ведь интересно. А вы каких-то химер поймать пытаетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение
Сообщение30.03.2015, 01:08 


28/03/15
5
Cash, это действительно интересно. Где начать копать?

Понимаю, что, в принципе, не важен метод. Но интересно есть ли способ выражения через элементарную функцию или нет. Как я понял - вряд ли существует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group