2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
http://habrahabr.ru/post/254023/

    Цитата:
    Планеты и четвёртое измерение

    Наверняка вам известно, что планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам. Но почему? На самом деле, они двигаются по окружностям в четырёхмерном пространстве. А если спроецировать эти окружности на трёхмерное пространство, они превращаются в эллипсы.

    Изображение

    <...>

Дальше там идёт многаформул. Хотелось бы это понять. Если это чушь - то отбросить. Если не чушь - то сложить в копилку. Кроме того, интересно может быть не только мне. Помогите, и давайте разбираться вместе!

Ещё из ближе к концу:
    Цитата:
    Часто люди начинают с закона обратных квадратов, показывают, что угловой момент и вектор Лапласа—Рунге—Ленца сохраняются, и используют эти сохраняющиеся величины и теорему Нётер, чтобы показать наличие 6-мерной группы симметрий. Для решений с отрицательной энергией это превращается в группу поворотов в 4 измерениях, SO(4). Поработав ещё немного, можно увидеть, как задача Кеплера сопряжена с гармоническим осциллятором в 4 измерениях. Это делается через репараметризацию времени.

    Мне больше понравился подход Гораснона, потому что он начинается с репараметризации времени. Это позволяет эффективно показать, что эллиптическая орбита планеты – это проекция круговой орбиты в четырёхмерном пространстве на трёхмерное. Таким образом становится очевидна 4-мерная вращательная симметрия.

    <...>

    Он также применяет этот подход для орбит с положительной энергией, которые представляют собой гиперболы, и для орбит с нулевой энергией (параболы). У гипербол получается симметрия групп Лоренца, а у парабол – симметрия групп Евклида. Это известный факт, однако примечательно, как просто он выводится с помощью нового подхода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 18:32 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Скрытая четырехмерная симметрия Кулоновского потенциала (и именно его) - это не чушь. Вроде как много кто указывал, но я как человек из города Ленина Петра не могу не выделить Фока в 1935 году, он через это объяснял вырожденность уровней атома водорода. Вроде в третьем томе ЛЛ должно упоминаться. С другой стороны меня смущает нарисованная проекция. Наверное попозже напишу подробнее.

-- 27.03.2015, 19:35 --

Смущает в смысле наверняка верно, но просто в моих смутных воспоминаниях это выглядело по-другому. Но там наверняка есть много разных способов ее реализовать

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 18:51 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
fizeg в сообщении #996575 писал(а):
С другой стороны меня смущает нарисованная проекция.
Ну проекция странная хотя бы только потому, что точка по эллипсу равномерно движется. На глаз.
fizeg в сообщении #996575 писал(а):
Вроде как много кто указывал, но я как человек из города Ленина Петра не могу не выделить Фока в 1935 году, он через это объяснял вырожденность уровней атома водорода.
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fizeg в сообщении #996575 писал(а):
Скрытая четырехмерная симметрия Кулоновского потенциала (и именно его) - это не чушь.

Это-то я знаю. Меня интересует ясный геометрический способ продемонстрировать её: есть он здесь или нет. Если есть, то это и полезный jewel в шкатулке собственной интуиции, и хороший педагогический этюд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 19:29 


06/12/14
510
Желтый шарик внутри сферы - это солнце?. Почему оно зафиксировано? По логике вещей и солнце тоже, в свою очередь, вращается по своей круговой орбите в 4-х мерном пространстве. Но тогда проекция орбиты планеты, вращающейся вокруг него, должна деформироваться со временем. За пару тысяч лет величина этой деформации должна стать заметной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
unistudent в сообщении #996613 писал(а):
Желтый шарик внутри сферы - это солнце?. Почему оно зафиксировано?

Предлагаю читать статью по ссылке. Я ещё не разбирался. У меня упругое рассеяние назад на первых же словах про "время, по которому планета движется взад и вперёд".

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2752
Физтех
fizeg в сообщении #996575 писал(а):
Скрытая четырехмерная симметрия Кулоновского потенциала (и именно его) - это не чушь.

Munin в сообщении #996610 писал(а):
Это-то я знаю. Меня интересует ясный геометрический способ продемонстрировать её: есть он здесь или нет.

Вероятно речь идет о преобразованиях Кустаанхеймо-Штифеля -- одном из способов регуляризации уравнений движения. Ниже приведу немного информации о преобразовании и уравнениях движения в соответствующих переменных.

Пусть космический аппарат движется по своей орбите в плоскости $(x,y)$. Идея, которая была предложена Леви-Чивитой, состояла в рассмотрении вместо $x,y$ переменных $(u_1,u_2)$, которые были бы связаны с $(x,y)$ посредством конформного отображения $x+iy=(u_1+i u_2)^2$ плоскости орбиты $(x,y)$ на плоскость $(u_1,u_2)$. Это соотношение переписывается в виде
$$\left( \begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
u_1^2 - u_2^2\\
2{u_1}{u_2}
\end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{ - {u_2}}\\
{{u_2}}&{{u_1}}
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{c}
{u_1}\\
{u_2}
\end{array} \right)$$
или в матричной форме
$$\mathbf{r} = \mathbf{L}(\mathbf{u}) \mathbf{u},$$
где $\mathbf{r}=(x,y)$, $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$, $\mathbf{L}(\mathbf{u})$ -- соответствующая матрица (матрица Леви-Чивиты). Легко проверить выполнение равенств
$$r = \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}, \ 
\mathbf{r}'=2\mathbf{L}(\mathbf{u})\mathbf{u}', \
\mathbf{L}'(\mathbf{u})=\mathbf{L}(\mathbf{u}'), \
\mathbf{L}^{-1}(\mathbf{u})=\frac{\mathbf{L}^T(\mathbf{u})}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}$$
Штрихом здесь обозначается производная по фиктивному времени $s$, связанному с физическим временем $t$ соотношением Сундмана $dt = \frac{1}{\sqrt{-2h}} r ds$, где $h$ -- энергия. Так вот, принимая во внимание все вышесказанное, уравнения движения
$$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{\mu}{r^3}\mathbf{r}$$
перепишутся в виде
$$\mathbf{u}'' + \mathbf{u}/4 = 0$$
Решением этих уравнения является гармонический осциллятор с частотой $1/2$. Это плоский случай. Если на аппарат воздействуют возмущения, то приходится переходить в пространственный случай. Но тремя параметрами не обойтись. Кустаанхеймо и Штифель ввели четыре переменные:
$$\[\left( \begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
u_1^2 - u_2^2 - u_3^2 + u_4^2\\
2\left( {{u_1}{u_2} - {u_3}{u_4}} \right)\\
2\left( {{u_1}{u_3} + {u_2}{u_4}} \right)
\end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{ - {u_2}}&{ - {u_3}}&{{u_4}}\\
{{u_2}}&{{u_1}}&{ - {u_4}}&{ - {u_3}}\\
{{u_3}}&{{u_4}}&{{u_1}}&{{u_2}}
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{c}
{u_1}\\
{u_2}\\
{u_3}\\
{u_4}
\end{array} \right)\]$$
или, точнее говоря,
$$\[{\bf{r}} = \left( \begin{array}{c}
x\\
y\\
z\\
0
\end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{ - {u_2}}&{ - {u_3}}&{{u_4}}\\
{{u_2}}&{{u_1}}&{ - {u_4}}&{ - {u_3}}\\
{{u_3}}&{{u_4}}&{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{u_4}}&{ - {u_3}}&{{u_2}}&{ - {u_1}}
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{c}
{u_1}\\
{u_2}\\
{u_3}\\
{u_4}
\end{array} \right) = {\bf{L}}\left( {\bf{u}} \right){\bf{u}}\]$$
Можно убедиться, что для этого преобразования свойства и уравнения выше также выполняются, если ввести т.н. билинейное соотношение $(u_4,-u_3,u_2,-u_1)^T \mathbf{u}' \equiv 0$. Отмечу, наконец, что с учетом возмущений $\mathbf{F}_{pert}$, действующих на аппарат массы $m$, уравнения движения в терминах $\mathbf{u}$ запишутся в виде $$\[{\bf{u}}'' + {\bf{u}}/4 =  - \frac{{{\bf{u}} \cdot {\bf{u}}}}{{4h}}\frac{{{{\bf{L}}^T}\left( {\bf{u}} \right){{\bf{F}}_{pert}}}}{m} - \frac{{h'}}{{2h}}{\bf{u}}'\]$$ Уравнения движения в такой записи представляют собой уравнения возмущенного осциллятора (это верно как для плоского, так и для пространственного случая). Уравнения не обладают особенностями (в знаменателе отсутствует $r$), а также являются устойчивыми по Ляпунову к начальным данным, поэтому в астродинамике зарекомендовали себя очень хорошо.

Релевантные ссылки:
http://arxiv.org/abs/0803.4441
http://cds.cern.ch/record/600080/files/0301017.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
878
ShMaxG в сообщении #996638 писал(а):
Вероятно речь идет о преобразованиях Кустаанхеймо-Штифеля -- одном из способов регуляризации уравнений движения. Ниже приведу немного информации о преобразовании и уравнениях движения в соответствующих переменных.

Подробнее можно прочитать в книге Бакай-Степановский "Адиабатические инварианты" (стр. 70-79). Есть в библиотеке Ихтика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение02.04.2015, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ShMaxG в сообщении #996638 писал(а):
посредством конформного отображения $x+iy=(u_1+i u_2)^2$
ShMaxG в сообщении #996638 писал(а):
Так вот, принимая во внимание все вышесказанное, уравнения движения
$$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{\mu}{r^3}\mathbf{r}$$ перепишутся в виде
$$\mathbf{u}'' + \mathbf{u}/4 = 0$$

То есть, что происходит. Во-первых, мы сокращаем углы вдвое, и переходим от эллипса вокруг фокуса к эллипсу вокруг центра. Во-вторых, мы переходим от времени $t$ ко времени $s,$ которое идёт медленнее в апоцентре, и быстрее в перицентре, и в результате делает "равномернее" движение точки по эллипсу. И в итоге, получаем вместо кеплеровского эллипса осцилляторный. Так?

Теперь надо сравнить с той статьёй, которая была упомянута в начале темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение02.04.2015, 05:06 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
ShMaxG в сообщении #996638 писал(а):
$$\[{\bf{r}} = \left( \begin{array}{c}
x\\
y\\
z\\
0
\end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{ - {u_2}}&{ - {u_3}}&{{u_4}}\\
{{u_2}}&{{u_1}}&{ - {u_4}}&{ - {u_3}}\\
{{u_3}}&{{u_4}}&{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{u_4}}&{ - {u_3}}&{{u_2}}&{ - {u_1}}
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{c}
{u_1}\\
{u_2}\\
{u_3}\\
{u_4}
\end{array} \right) = {\bf{L}}\left( {\bf{u}} \right){\bf{u}}\]$$
Ну вот почему бы не выбрать знаки в четвёртой строке так, чтоб получился кватернион, а? Красивенько будет. :P

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2752
Физтех
Munin в сообщении #999154 писал(а):
То есть, что происходит. Во-первых, мы сокращаем углы вдвое, и переходим от эллипса вокруг фокуса к эллипсу вокруг центра. Во-вторых, мы переходим от времени $t$ ко времени $s,$ которое идёт медленнее в апоцентре, и быстрее в перицентре, и в результате делает "равномернее" движение точки по эллипсу. И в итоге, получаем вместо кеплеровского эллипса осцилляторный. Так?

Я, право, не знаю, что получается по-отдельности в результате этих переходов, но совокупный эффект этих преобразований в невозмущенном случае дает гармонический осциллятор, решение которого $\mathbf{u}(s) = \mathbf{A}\cos{(s/2)} + \mathbf{B}\sin{(s/2)}$, где константы $\mathbf{A,B}$ определяются начальными данными. Фиктивным временем $s$ преобразования Сундмана является эксцентрическая аномалия, т.е. угол, который составляет с положительным направлением оси перицентра направление на точку некоторой окружности с центром в центре исходного кеплеровского эллипса. В результате преобразования Леви-Чивиты не только углы сокращаются вдвое, но и расстояния $l$ уменьшаются до $\sqrt{l}$, потому что берется корень $u_1+i u_2 = (x+i y)^{1/2}$. Вот из-за этого корня и появляется двойка в знаменателе.

В пространстве же в некотором смысле возникает аналог этого корня. Было замечание
Nemiroff в сообщении #999212 писал(а):
Ну вот почему бы не выбрать знаки в четвёртой строке так, чтоб получился кватернион, а? Красивенько будет. :P
Выбор такой матрицы, какую я написал, приводит к уравнению гармонических осцилляций. Если выбрать знаки так, чтобы получилась при перемножении с вектором в результате единичка (это имелось ввиду?), то не факт, что уравнения дадут гармонический осциллятор и вообще будут регуляризированы и стабилизированы.

Тем не менее, числа $u_1,u_2,u_3,u_4$ являются компонентами кватерниона $\mathbf{q}$, который переводит орт $\mathbf{k}=(0,0,1)^T$ в вектор $\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}$ в результате преобразования $\mathbf{r} = \mathbf{q}^* \circ \mathbf{k} \circ \mathbf{q}$, где звездочка означает сопряжение кватерниона, а кружочек -- кватернионное умножение. Вместо $\mathbf{k}$ можно было бы и другой орт выбрать. Но даже выбрав орт, можно увидеть, что кватернион таким образом определяется неоднозначно, появляется одна степень свободы. Среди решений уравнения $\mathbf{r} = \mathbf{q}^* \circ \mathbf{k} \circ \mathbf{q}$ имеется кватернион поворота по большому кругу $$\mathbf{q} = \sqrt{r}(\sin{(\theta/2)}\cos{\phi}\cdot\mathbf{i}+\sin{(\theta/2)}\sin{\phi}\cdot\mathbf{j}+\cos{(\theta/2)}\cdot\mathbf{k}),$$ где скалярная часть кватерниона равна нулю и $$\mathbf{r}=r(\sin{\theta}\cos{\phi}\cdot\mathbf{i}+\sin{\theta}\sin{\phi}\cdot\mathbf{j}+\cos{\theta}\cdot\mathbf{k}), \ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ Можно обнаружить, что существуют и решения с ненулевой скалярной частью: $\mathbf{q}' = (\cos{\psi} - \sin{\psi}\cdot\mathbf{k})\circ\mathbf{q}$ для любого $\psi$ тоже является решением.

Кстати, если выбрать $y=0$ и рассмотреть преобразование вектора $\mathbf{k}$ в вектор $\cos{\theta}\cdot \mathbf{k} + \sin{\theta}\cdot \mathbf{i}$, то видно, что такой поворот должен осуществляться однозначно на угол $180^{\circ}$ вокруг оси с направлением $\mathbf{n} = (\sin{(\theta/2)},0,\cos{(\theta/2)})^T$. Это еще одно пояснение, чисто геометрическое, объясняющее появление двойки в выражениях. Таким образом, и в плоском, и в пространственном случае решается "квадратное" уравнение $\mathbf{r} = \mathbf{q}^* \circ \mathbf{k} \circ \mathbf{q}$ на компоненты кватерниона, а в плоском случае это то же самое, что решать уравнение $x+i y = (u_1 + i u_2)^2$ относительно $u_1,u_2$.

С помощью преобразований Леви-Чивиты и Кустаанхеймо-Штифеля мы описываем движение космического аппарата не с помощью непрерывного множества параметризованных временем декартовых координат, а с помощью непрерывного множества поворотов-растяжений пространства, которые также параметризуются временем (правда, фиктивным).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 09:20 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
ShMaxG в сообщении #999552 писал(а):
Если выбрать знаки так, чтобы получилась при перемножении с вектором в результате единичка (это имелось ввиду?), то не факт, что уравнения дадут гармонический осциллятор и вообще будут регуляризированы и стабилизированы.
Последняя строка должна быть $-u_4, u_3, -u_2, u_1$. Вот тогда это кватернион в матричном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2752
Физтех
Я почитал статью на Хабре. Написана она, конечно, отвратительно, я попробую написать четче.

Когда я увидел про четырехмерное пространство, мне в голову пришли сразу же компоненты кватерниона. Но судя по статье, под четырехмерным пространством автор подразумевает пространство скоростей $(t',x',y',z')$, где $t$ -- физическое время, $x,y,z$ -- декартовы координаты, а штрих означает производную по фиктивному времени $s$ из преобразования Сундмана, о котором я писал. Интеграл энергии в задаче двух тел выглядит так: $$\[\frac{{{\bf{\dot r}} \cdot {\bf{\dot r}}}}{2} - \frac{\mu }{r} =  - \frac{\mu }{{2a}},\]$$ где $\mu$ -- гравитационный параметр, $a$ -- большая полуось орбиты. Переходя к фиктивному времени $s$, такому что $\frac{ds}{dt}=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{\mu}{a}}$, мы получим $$\[\frac{{{\bf{r}}' \cdot {\bf{r}}'}}{{2{r^2}}}\frac{\mu }{a} - \frac{\mu }{r} =  - \frac{\mu }{{2a}},\]$$ откуда после преобразований выделится $$\[{\bf{r}}' \cdot {\bf{r}}' + {\left( {t' - a} \right)^2} = {a^2}.\]$$ Действительно, в задаче двух тел аппарат/планета будет двигаться таким образом, что $(t',x',y',z')$ будет оставаться на сфере с центром в точке $(a,0,0,0)$ и радиусом $a$. Далее, уравнения движения с фиктивным временем запишутся в виде $$\[{\bf{r}}'' = \frac{a}{\mu }{r^2}\left( { - \frac{\mu }{{{r^3}}}{\bf{r}}} \right) + r'\frac{{{\bf{r}}'}}{r},\]$$ а если выделить энергию и вектор Лапласа $$h=-\frac{\mu}{2a}, \ \ \[{\bf{A}} =  - \mu \frac{{\bf{r}}}{r} + {\bf{v}} \times \left( {{\bf{r}} \times {\bf{v}}} \right),\]$$
то приходим к уравнениям гармонического осциллятора $$\[{\bf{r}}'' + {\bf{r}} + \frac{{\bf{A}}}{{ - 2h}} = 0.\]$$ Кстати, этот подход к регуляризации уравнений называется преобразованием Шперлинга-Бюрде. Про Джеспера Горансона не слышал.

-- Пт апр 03, 2015 13:02:03 --

Nemiroff в сообщении #999590 писал(а):
Последняя строка должна быть $-u_4, u_3, -u_2, u_1$. Вот тогда это кватернион в матричном виде.
Да, есть такое. Но исследования показывают, что
... $L(u)u$ is the appropriate generalization of the squaring map $z^2$ and that the KS matrices $L(u)$ are fundamentally different from the quaternion matrices $Q(u)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 15:00 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
ShMaxG в сообщении #999644 писал(а):
Но исследования показывают, что
Не понимаю, что там различного, при том, что вы сами написали
ShMaxG в сообщении #999552 писал(а):
Тем не менее, числа $u_1,u_2,u_3,u_4$ являются компонентами кватерниона $\mathbf{q}$, который переводит орт $\mathbf{k}=(0,0,1)^T$ в вектор $\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}$ в результате преобразования $\mathbf{r} = \mathbf{q}^* \circ \mathbf{k} \circ \mathbf{q}$, где звездочка означает сопряжение кватерниона, а кружочек -- кватернионное умножение.

Как я понимаю, именно такое отображение математики зовут отображением Хопфа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ShMaxG в сообщении #999552 писал(а):
В результате преобразования Леви-Чивиты не только углы сокращаются вдвое, но и расстояния $l$ уменьшаются до $\sqrt{l}$,

Изображение Позор мне...

ShMaxG в сообщении #999644 писал(а):
Я почитал статью на Хабре. Написана она, конечно, отвратительно, я попробую написать четче.

Спасибо, всё становится яснее!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group