Найти ошибку в решении диофантова уравнения

[nnosipov]

Итак, задача: для данных натуральных чисел $b$ и $m$ доказать, что многочлен $f(x)=x^4-bmx+m+1$ не может иметь два различных натуральных корня.

От противного. Пусть $k$ и $l$ --- такие корни. Значит, $f(x)=(x-k)(x-l)(x^2+px+q)$ для некоторых целых $p$, $q$. Раскрыв скобки и приравняв нулю коэффициенты при $x^3$ и $x^2$, получим $p=k+l$, $q=k^2+kl+l^2$, т.е. $f(x)=x^4-(k+l)(k^2+l^2)x+kl(k^2+kl+l^2)$. Следовательно,

$$ bm=(k+l)(k^2+l^2), \quad m+1=kl(k^2+kl+l^2). $$

Таким образом, $(k+l)(k^2+l^2)$ должно делиться на $kl(k^2+kl+l^2)-1$, что возможно только при $k=l=1$ --- противоречие.

[TR63]

nnosipov, (странно, написала ответ, а он автоматически исчез. Пишу повторно).
Как Вы и писали, Ваше решение, действительно, простое. В этой задаче интересно то, почему уравнение второй степени имеет это свойство, а уравнение четвёртой степени не имеет. Можно ли было спрогнозировать этот результат, вообще, не решая задачи. (Можно не отвечать на этот вопрос; просто интересно.)
Вопрос ко всем. Корректно ли моё решение. Т.е. можно ли решать эту задачу с помощью замены переменных и применения формулы Орландо. Лично у меня есть сомнения. Хотелось бы услышать мнение специалистов. Для третьей степени ответ дал Shadow.

[nnosipov]

TR63 в сообщении #994929 писал(а):

Вопрос ко всем. Корректно ли моё решение. Т.е. можно ли решать эту задачу с помощью замены переменных и применения формулы Орландо.

Для меня оно написано непонятно.

[TR63]

TR63 в сообщении #994929 писал(а):

Т.е. можно ли решать эту задачу с помощью замены переменных и применения формулы Орландо.

nnosipov, мне интересен только этот момент. Само решение меня не интересует. Вот, Вы для уравнения, которое находится в BMB(Чулане): $x^4+x-Q(y)=0$, понимали, с Ваших слов, что метод неверен, нет метода, фантазия и только. Правильно я понимаю, что на данный момент Вы не знаете, можно или нельзя делать замену переменных и применять формулу Орландо. Тогда будем разбираться. Но не в этой теме. Если специалисты скажут нельзя, займусь уравнениями третьей степени. Там намечается интересный результат. Да, и гипотеза Штейнгауза интересна (с идеей надо разобраться).

[nnosipov]

TR63 в сообщении #994948 писал(а):

Вот, Вы для уравнения, которое находится в BMB(Чулане): $x^4+x-Q(y)=0$, понимали, с Ваших слов, что метод неверен, нет метода, фантазия и только.

Это был не я, но неважно. То, что фантазия, подтверждаю. Ваши рассуждения непригодны для исследования диофантовых уравнений.

[TR63]

Вы пишите:Для меня оно написано непонятно.

nnosipov в сообщении #994954 писал(а):

TR63 в сообщении #994948 писал(а):

Ваши рассуждения непригодны для исследования диофантовых уравнений.

Непонятно, значит непригодно. Т.е. моё решение задачи в этой теме без понимания Вы заочно считаете некорректным? Укажите, что Вам конкретно непонятно. Я могу объяснить. Если не хотите разбираться в этой теме попросите о переносе задачи в ПРР. Может кто-то сможет объяснить конкретно, почему метод непригоден.

[nnosipov]

TR63 в сообщении #994956 писал(а):

Т.е. моё решение задачи в этой теме без понимания Вы заочно считаете некорректным?

Да. Тут дело в статистике --- у Вас очень мало корректных текстов (я видел только один, в этой теме, кстати).

Вообще, я любой мутно написанный текст считал бы некорректным. Если автор хочет чего-то доказать миру, пусть пишет разборчиво.

[TR63]

nnosipov в сообщении #994960 писал(а):

Тут дело в статистике

nnosipov, т.е. Вы уже не столь категоричны в том, что метод непригоден. Кстати, он есть в Вике. Уже всё доказано и проверено, ещё пять лет назад.

-- 24.03.2015, 16:31 --

Просто сейчас у меня возникли сомнения, может, они несущественны. Как знать.

[nnosipov]

TR63 в сообщении #994965 писал(а):

Вы уже не столь категоричны в том, что метод непригоден.

Какой метод-то? Ваши рассуждения непригодны. Я в них не увидел никакого метода для решения диофантовых уравнений.

[Deggial]

TR63, устное замечание за 3 почти бессодержательных сообщения подряд. Не надо превращать тему в чат. Пишите конструктивнее. Хотите узнать оценку своему методу или хотите, чтобы Вам в нём указали на конкретную ошибку - выписывайте метод максимально подробно, понятно. Либо примите уже вынесенную оценку, чем она Вам не угодила? Либо этот разговор будет закончен.

[TR63]

В Вике написано, что метод находится в стадии разработки (правда, это давняя информация; давно не заглядывала туда). Это новый метод решения обычных уравнений четвёртой степени. Идея находится в этой теме, здесь т.е.. Теперь любой матшкольник её решит. Далее надо рассмотреть применение к различным задачам. Предлагаю в качестве олимпиадной задачи, коль Вы говорите, что не понимаете моего решения. Формулировка: вывести формулу решения уравнения четвёртой степени, используя теорему Орландо.

[Deggial]

Понятно, отделяю...
Отделено в ПРР.
В Дискуссионный раздел уже не подходит ввиду большого хвоста с невнятными рассуждениями, исправление которых в Карантине не представляется возможным

TR63 в сообщении #994982 писал(а):

Формулировка: вывести формулу решения уравнения четвёртой степени, используя теорему Орландо.

Предлагается найти черную кошку в чёрной комнате, которой там нет.

TR63 в сообщении #994982 писал(а):

В Вике написано, что метод находится в стадии разработки (правда, это давняя информация; давно не заглядывала туда). Это новый метод решения обычных уравнений четвёртой степени. Идея находится в этой теме, здесь т.е.. Теперь любой матшкольник её решит. Далее надо рассмотреть применение к различным задачам. Предлагаю в качестве олимпиадной задачи, коль Вы говорите, что не понимаете моего решения. Формулировка: вывести формулу решения уравнения четвёртой степени, используя теорему Орландо.

Вы это сейчас в шутку что-ли пишете?

При повторении подобных совершенно необоснованных утверждений получите ещё одно предупреждение и тема будет закрыта.

[TR63]

Deggial в сообщении #994986 писал(а):

Вы это сейчас в шутку что-ли пишете?

Нет. Речь идёт не о диофантовых, а об обычных уравнениях четвёртой степени. Если интересно, могу написать формулу. Правда, сначала хотелось бы увидеть ошибку. Напоминаю, я всего лишь просила проверить решение. Жду ответа.

-- 24.03.2015, 18:00 --

Переписываю задачу, решение которой требуется проверить:

TR63 в сообщении #994479 писал(а):

Рассмотрим
$\frac{a^4+1}{ab-1}=m$, $(a,b,m)\in N$
Пусть при некотором фиксированном (m) существует натуральное решение $(a_1,b_1,m)$ и $b_1m\neq4n$, тогда не существует натурального решения $(a_2,b_1,m)$.
Решать будем методом от противного.
$a^4-mba+(1+m)=0$
Предположим, что существует решение $(a_2;b_1;m)$. В исходное уравнение подставим $(b_1;m)$ и будем искать $(a_2)$.
Тогда, можно сказать, что исходное уравнение имеет два положительных корня и два корня с отрицательной действительной частью:
$a_3=-\alpha+i\beta_1$ $a_4=-\alpha-i\beta_1$ $a_1+a_2=2\alpha$
В исходном уравнении сделаем замену переменных $a=x-\alpha$. Тогда в новом уравнении будут корни с противоположными знаками и можно применить теорему Орландо. В итоге получим уравнение:
$80\alpha^6-16(1+m)\alpha^2-(mb_1)^2=0$

$2\alpha=\beta$, $10\beta^6-32(1+m)\beta^2-8(mb_1)^2=0$

$\beta=2q$, $80q^6-16(1+m)q^2-(mb_1)^2=0$
Отсюда видим, что в заданной области определения уравнение не имеет решений. Противоречие.

Решение находилось в олимпиадном разделе, поэтому расписано кратко. Если непонятно, могу расписать подробнее.

[Deggial]

TR63 в сообщении #995007 писал(а):

Решение находилось в олимпиадном разделе, поэтому расписано кратко.

Дело в том, что это не решение, а нечто невразумительное. Естественно, никто не будет в нём разбираться.

TR63 в сообщении #995007 писал(а):

Если непонятно, могу расписать подробнее.

nnosipov в сообщении #994932 писал(а):

Для меня оно написано непонятно.

Deggial в сообщении #994973 писал(а):

Не надо превращать тему в чат. Пишите конструктивнее. Хотите узнать оценку своему методу или хотите, чтобы Вам в нём указали на конкретную ошибку - выписывайте метод максимально подробно, понятно. Либо примите уже вынесенную оценку, чем она Вам не угодила?

Вы читаете то, что Вам пишут?
По поводу процитированного выше были вопросы, на которые ответа либо не было, либо они были, скажем так, неполными.

Вообще - Вам надо, Вы и пишите.

[TR63]

TR63 в сообщении #995007 писал(а):

В исходном уравнении сделаем замену переменных $a=x-\alpha$. Тогда в новом уравнении будут корни с противоположными знаками и можно применить теорему Орландо.

Этот момент я понятно написала? Если да, то можно читать дальше.
Неполнота доказательства ("ошибка") находится здесь. Т. е. в самом начале. Далее двигаться нельзя, пока не разберёмся с этим моментом.
В аналогичной ситуации для уравнения третьей степени эта возможность была законна, а для четвёртой требуется обоснование, потому что ситуация хоть и аналогичная, но не совсем. И это уже отдельная интересная для меня задача. Сформулирую её.
Пусть имеется уравнение четвёртой степени:
$x^4+px^2+qx+r=0$
$(p;q)>0$ $r\neq0$
$x_1=\alpha+i\beta$ $x_2=\alpha-i\beta$ $(x_3;x_4)$
Спрашивается, когда возможна замена переменных $x\to x+\alpha$
При такой замене новое уравнение имеет, по крайней мере, два мнимых комплексно сопряжённых корня (их сумма равна нулю). Следовательно применима формула Орландо. Но всегда ли законна замена переменных.
Прошу специалистов дать ответ на этот вопрос. (У меня есть свой ответ. Но хочется сравнить, может я ошибаюсь.)