Найти ошибку в решении диофантова уравнения

[bot]

TR63 в сообщении #996292 писал(а):

Спрашивается, когда возможна замена переменных

Всегда.

TR63 в сообщении #996292 писал(а):

Но всегда ли законна замена переменных

Аналогично.
Теперь вопрос - о чём Вы спрашиваете?

[TR63]

Можно рассматривать и случай, когда $p<0$. Главное, что бы имелись комплексные корни.

-- 27.03.2015, 10:12 --

Это добавление к моему сообщению.

-- 27.03.2015, 10:23 --

bot в сообщении #996294 писал(а):

Теперь вопрос - о чём Вы спрашиваете?

Я спрашивала о том, на что Вы ответили. Если Вас интересует моё мнение по этому вопросу, то могу ответить: у меня есть сомнения. Решаю численно пример и получается расхождение с вольфрамом. Хочу выяснить, почему. Но позже.

[Cash]

TR63 в сообщении #996292 писал(а):

Пусть имеется уравнение четвёртой степени:
$x^4+px^2+qx+r=0$
$(p;q)>0$ $r\neq0$
$x_1=\alpha+i\beta$ $x_2=\alpha-i\beta$ $(x_3;x_4)$
Спрашивается, когда возможна замена переменных $x\to x+\alpha$

Как я понимаю, $x_1$ и $x_2$ Вам неизвестны - иначе зачем задача?
Ну а в таком случае, чтобы сделать замену - надо это $\alpha$ сначала найти. Не уверен, что нахождение действительной части корней в общем случае может быть значительно проще, чем нахождение самих корней.

[TR63]

Cash в сообщении #996305 писал(а):

Как я понимаю, $x_1$ и $x_2$ Вам неизвестны

Да, так. Численно неизвестны. Известно лишь, что существуют. Значит, известно, что существует $\alpha$.
Вопрос в том, почему для третьей степени численно находить не надо, а для четвёртой надо находить численное значение $\alpha$. К тому же, bot говорит, что всё верно. И, как быть. Думаю, надо разбираться.

Cash в сообщении #996305 писал(а):

Не уверен, что нахождение действительной части корней в общем случае может быть значительно проще, чем нахождение самих корней.

Если bot прав, то задача элементарна. Распишу позже. Сегодня мало времени.

[Shadow]

TR63 конечно, если $x_3+x_4=-2\alpha$, после замены $x=t-\alpha$ у нового уравнения будут корни с суммой 0, т.е $t_3+t_4=0$ А что говорит теорема Орландо для полиномов четвертой степени? Вы только о ней говорите, а я ее не знаю. Eсли полином имеет корни с суммой 0, т.е $P(x)=(x+a)(x+b)(x^2+c)$
или $P(x)=x^4+(a+b)x^3+(ab+c)x^2+(a+b)cx+abc$

[Cash]

Shadow в сообщении #996322 писал(а):

А что говорит теорема Орландо для полиномов четвертой степени? Вы только о ней говорите, а я ее не знаю.

Из того, что я нашел в Гантмахере "Теория матриц"
под теоремой Орландо понимается следующее:
сумма каких-то двух корней уравнения $P(x)=0$ равна нулю тогда и только тогда, когда
$\Delta_{n-1}=0$,
где $\Delta_i$ - соответствующий определитель Гурвица

В частности, сумма двух корней уравнения $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$
равна нулю тогда и только тогда, когда
$\begin{vmatrix} a & c & 0 \\ 1 & b & d \\ 0 & a & c \end{vmatrix}=0$
или
$abc = a^2d +c^2$

-- Пт мар 27, 2015 11:30:47 --

TR63 в сообщении #996310 писал(а):

К тому же, bot говорит, что всё верно.

Ну вы вправе делать любые замены, о чем и сказал bot.
У вас было уравнение $f(x)=0$
Заменой вы перешли к уравнению
$F(x,\alpha)=0$
где $F(x,\alpha)$ имеет некое волшебное свойство.
Оттуда находите $\alpha$ и все прочее. Я даже могу поверить, что это не тупиковый путь.

Только хочется, чтобы Вы четко понимали:
1) Решение уравнения четвертой степени невозможно без честного решения некоторого уравнения 3-й степени (формула Кардано)
2) Сведение Феррари к уравнению 3-й степени на порядок проще и прозрачней, чем Ваш путь.

П.2, конечно же ничего не значит, если Вы сможете достичь успеха - только буду рад.

[Shadow]

Спасибо, Cash теперь ясно. По поводу уравнения в натуральных числах:

TR63 в сообщении #994479 писал(а):

$a^4-mba+(1+m)=0$

TR63 в сообщении #994479 писал(а):

В исходном уравнении сделаем замену переменных $a=x-\alpha$. Тогда в новом уравнении будут корни с противоположными знаками и можно применить теорему Орландо. В итоге получим уравнение:$80\alpha^6-16(1+m)\alpha^2-(mb_1)=0$

Новое уравнение принимает вид (только я заменил $\alpha$ на $a$, лень писать):
$x^4-4 a x^3+6a^2x^2-(4a^3+bm)x+a^4+abm+m+1=0$. Теперь по теореме Орландо должно выполнятся:

$4a\cdot 6a^2\cdot(4a^3+bm)=16a^2(a^4+abm+m+1)+(4a^3+bm)^2$

в итоге, если и я нигде не ошибся:

$64a^6-16(m-1)a^2-b^2m^2=0$. И так как $a=\dfrac n 2,\;n \in \mathbb{N}$, никакое противоречие по четности нет.

[TR63]

Shadow, спасибо за проверку. Признаю, что имеется арифметическая ошибка.
Теперь забудем о конкретном уравнении и перейдём к общей задаче, которую анализировал Cash.
.

Cash в сообщении #996337 писал(а):

вы вправе делать любые замены, о чем и сказал bot.
У вас было уравнение $f(x)=0$
Заменой вы перешли к уравнению
$F(x,\alpha)=0$
где $F(x,\alpha)$ имеет некое волшебное свойство.
Оттуда находите $\alpha$ и все прочее. Я даже могу поверить, что это не тупиковый путь.

Cash, если всё, как Вы говорите, то это не тупиковый путь. Для убедительности можете проделать соответствующие вычисления самостоятельно и увидеть, что это путь к определению действительной части. Со своей стороны я могу привести эти выкладки. Они верны, т.к. проверены специалистами. Остаётся выяснить, почему у меня произошло расхождение с вольфрамом. Если этот момент окажется несущественным, то можно будет рассмотреть применение этого метода для исследования уравнения четвёртой степени и в теории чисел.
Ещё раз всем спасибо. Надеюсь на дальнейшую помощь. (Далее хочу рассмотреть конкретный пример. Возможно, завтра.)

[TR63]

Пример.
$x^4+112.5x^2-863x+1528.31=0$

$x^4+px^2-qx+r=0$
(будем рассматривать уравнения, не имеющие действительных корней) Тогда при положительных $(p;q;r)$ корни будут только комплексные.
Исходное численное уравнение имеет только комплексные корни. Многочлен неустойчив. Следовательно, имеются корни с положительной действительной частью $x_1=\alpha+i\beta$. Можно сделать замену переменных $x\to x+\alpha$ для получения уравнения с противоположными корнями. Тогда в результате преобразований и применения формулы Орландо для нахождения $\alpha^2=z$ получим уравнение:

$z^3+\frac1 2pz^2-\frac1 4(r-\frac1 4p^2)z-\frac{1} {64}q^2=0$

Подставляем в это уравнения значения $(p;q;r)$, решаем на вольфраме. Получаем $\alpha_1^2=6.2643$ $\alpha_1<2.6$
Если решать на вольфраме сразу уравнение четвёртой степени, то получим $\alpha_1=3.23908$.

Где-то есть ошибка. В первую очередь у меня вопрос: есть ли в рассуждениях логическая ошибка. Если таковой нет, то прошу помочь найти арифметическую ошибку(тогда можно выкладки, если потребуется, расписать подробнее).

[TR63]

Если есть арифметическая ошибка и нет логической, то мною получен метод определения действительных частей комплексных корней уравнений степени n (а, это, как известно, открытая проблема, но не будем спешить) плюс, как следствие, будем иметь количественную характеристику корней уравнения четвёртой степени (этот результат отражён в Вике http://ateist.spb.ru>mw/alg4.htm, но, в, действительности, там требуется корректировка в области определения применимости метода: следует добавить $p\neq0$, $x^4-px^2+qx+r=0$)
Поскольку специалисты молчат по поводу имеющейся ошибки (ведь теория не должна расходиться с практикой), то буду исходить из того, что арифметической ошибки нет. Тогда требуется объяснить полученное расхождение теории и практики. Если использовать мою универсальную гипотезу, то всё объяснимо. Причём, разными способами.
1). Полученный контрпример можно рассматривать как полуаналог двухщелевого эксперимента с электроном в физике (но пока оставлю это в стороне без детального рассмотрения, ибо не разбираясь сочтут за бред.)
2). Полученное противоречие было вполне прогнозируемо с помощью моей универсальной гипотезы. В частности, если использовать следствие из неё: все источники непрерывного сигнала искривлены на границе (это не совсем полная формулировка; укороченная). Т.е. из неё следует,что формулу Орландо нельзя применять ко всему множеству многочленов. К любому конкретному ограниченному множеству можно, а ко всему нельзя (из-за искривления свойств простраства на границе). Что и подтверждает полученное противоречие в виде контрпримера. Между прочим, в доказательстве теоремы Гурвица об устойчивости многочленов используется аналогичная процедура. Отсюда следует, что требуется уточнение доказательства этой теоремы, ибо всвязи с указанным фактом нельзя считать доказательство достаточно полным без объяснения перехода свойства с области $[0;\infty)$ на $[0;\infty]$. Этот момент можно посмотреть в книге Постникова "Устойчивые мнгочлены" на стр. 26.
По поводу количественной характеристики корней многочлена $x^4-px^2+qx+r=0$ у меня сомнений значительно меньше (если формула Орландо верна), т.к. формула Орландо применяется не на всём множестве многочленов, а на множестве без границы $p\neq0$ (как раз здесь и имеется искривление, т.е. метод даёт сбой) плюс имеется неискривлённый источник непрерывного сигнала при $r=(\frac1 4)p^2$ относительно количества корней. Эта задача находитя в стадии разработки. Поэтому приведенную информацию можно просто принять к сведению.

Итак, если моё объяснение полный бред, то мне интересно знать, где же по мнению специалистов ошибка. Почему в результате замены переменных и применения формулы Орландо имеется расхождение теории и практики в виде контрпримера.

[TR63]

TR63 в сообщении #1013786 писал(а):

По поводу количественной характеристики корней многочлена $x^4-px^2+qx+r=0$ у меня сомнений значительно меньше (если формула Орландо верна), т.к. формула Орландо применяется не на всём множестве многочленов, а на множестве без границы $p\neq0$ (как раз здесь и имеется искривление, т.е. метод даёт сбой) плюс имеется неискривлённый источник непрерывного сигнала при $r=(\frac1 4)p^2$ относительно количества корней.

Почему-то ссылка не работает. Это и хорошо, потому что результат там, как оказалось, ошибочен, поскольку есть контрпример (на днях неподалёку его нашла $x^4-26x^2+x+150=0$; это уравнение имеет четыре действительных корня, а вспомагательное один, что противоречит ссылке, в которой результат получен, если исходить из формулы Орландо; т.е. формула Орландо, по крайней мере, не может иметь статус критерия, что соответствует следствию из моей универсальной гипотезы об искривлении источников непрерывного сигнала на границе.)

Почему же теория расходится с практикой? Где ошибка?

TR63 в сообщении #1013786 писал(а):

плюс имеется неискривлённый источник непрерывного сигнала при $r=(\frac1 4)p^2$ относительно количества корней.

Это гипотеза. Доказательства этого факта у меня нет. Если кто знает решение такой задачи, прошу помочь. Формулировка задачи: верно ли, что при ненулевых положительных (p;r) уравнение $x^4-px^2+qx+\frac1 4p^2=0$ имеет постоянное количество корней, равное двум. Дискриминант вспомагательного уравнения я вычислила. Он получился неизменным относительно знака $(>;<)$.

[TR63]

Итак, з-за наличия контрпримера получается, что формула Орландо не имеет статуса критерия. Хотя для $n\le4$ в статусе необходимого условия формула Орландо без сомнения верна (доказательство этого факта доступно среднему школьнику в качестве простого упражнения). Тогда получается, что она не имеет статус достаточного условия. Если я ошибаюсь, прошу указать, где именно. Я ошибки не нахожу.

Для решения диофантова уравнения, которое находится в ВМВ(чулане) достаточо того, что формула Орландо имеет статус необходимого условия. Сформулирую эту задачу с несущественным изменением: для уравнения

$$x^4+px-q=0$$

где $p>0$ (нечётное), $q>0$(натуральные), действительные части комплексных корней не могут быть целыми.
Решение:
Уравнение имеет один положительный, один отрицательный действительный корень и $x=\alpha\pm i\beta$. $\alpha>0$ либо $\alpha<0$. Пусть $\alpha>0$ тогда $x\to x+\alpha$. В результате такой замены получим уравнение, имеющее противоположные корни:
$x^4+4x^3\alpha+6x^2\alpha^2+(4\alpha^3+p)x+(\alpha^4+p\alpha-q)=0$

Следовательно выполняется формула Орландо в качестве необходимого условия, т.е.:
$16\alpha^2(\alpha^4+p\alpha-q)=(4\alpha^3+p)(20\alpha^3-p)$.
Левая часть чётная, а правая нечётная. Противоречие.
Прошу объяснить, чем не устраивает предложенный метод.

[TR63]

TR63 в сообщении #1023545 писал(а):

Почему-то ссылка не работает. Это и хорошо, потому что результат там, как оказалось, ошибочен, поскольку есть контрпример (на днях неподалёку его нашла $x^4-26x^2+x+150=0$; это уравнение имеет четыре действительных корня, а вспомагательное один, что противоречит ссылке, в которой результат получен, если исходить из формулы Орландо;

Странно. Сегодня Вольфрам выдал во вспомагательном уравнении три действительных корня. Получается, что к данной ссылке контрпримера нет.
Остаётся проверить первый контрпример к определению действительных частей комплексных корней. Может и там Вольфрам передумал или я была невнимательна. (Арифметика- сложная штука).

[TR63]

TR63 в сообщении #997042 писал(а):

Пример.
$x^4+112.5x^2-863x+1528.31=0$

$x^4+px^2-qx+r=0$
(будем рассматривать уравнения, не имеющие действительных корней) Тогда при положительных $(p;q;r)$ корни будут только комплексные.
Исходное численное уравнение имеет только комплексные корни. Многочлен неустойчив. Следовательно, имеются корни с положительной действительной частью $x_1=\alpha+i\beta$. Можно сделать замену переменных $x\to x+\alpha$ для получения уравнения с противоположными корнями. Тогда в результате преобразований и применения формулы Орландо для нахождения $\alpha^2=z$ получим уравнение:

$z^3+\frac1 2pz^2-\frac1 4(r-\frac1 4p^2)z-\frac{1} {64}q^2=0$

Подставляем в это уравнения значения $(p;q;r)$, решаем на вольфраме. Получаем $\alpha_1^2=6.2643$ $\alpha_1<2.6$
Если решать на вольфраме сразу уравнение четвёртой степени, то получим $\alpha_1=3.23908$.

Где-то есть ошибка.

Есть ещё одна ссылка, в которой указан метод для определения количественных характеристик корней уравнения четвёртой степениhttp://www.terver.ru/algeq8.php. Он выведен с помощью замены переменных и применения формулы Орландо. (В Гугле ссылка работает; только что проверяла). Можно ли быть уверенным в нём, если в ситуации с предложенным примером получается на практике нестыковка?

[TR63]

TR63 в сообщении #1013786 писал(а):

По поводу количественной характеристики корней многочлена $x^4-px^2+qx+r=0$ у меня сомнений значительно меньше (если формула Орландо верна), т.к. формула Орландо применяется не на всём множестве многочленов, а на множестве без границы $p\neq0$ (как раз здесь и имеется искривление, т.е. метод даёт сбой)

TR63 в сообщении #1030968 писал(а):

Есть ещё одна ссылка, в которой указан метод для определения количественных характеристик корней уравнения четвёртой степени http://www.terver.ru/algeq8.php
.

Если бы авторы в этой ссылке учитывали мою универсальную гипотезу, то не рассматривали бы всё множество уравнений четвёртой степени. Следует рассматривать множество уравнений с общим свойством. У меня таковым является полуусловие Стодолы для вспомагательного уравнения третьей степени (раз я использую понятие устойчивости). Отсюда условие ($(p,q,r)\neq0$) и прогноз о нарушении действия метода на границе при ($p=0$). Привожу соответствующий пример, подтверждающий данное утверждение:
$x^4-0.72x+0.4=0$
Это уравнение не имеет действительных корней, а вспомагательное уравнение третьей степени имеет один действительный корень. По ссылке должно быть два действительных корня. Противоречие. Этого и следовало ожидать по прогнозу.
Что интересно, авторы по первой неработающей ссылке пытаются исправить ситуацию введением лишь необходимости...(Поможет ли?)