Найти ошибку в решении диофантова уравнения

[TR63]

Deggial: выделено из этой темы

Shadow в сообщении #921141 писал(а):

насчет бесконечности таких пар при $k=5$. Применим тот же алгоритм спуска,только для "подъема", начиная с пар $(1,2)$ и

Посмотрела учебник. Оказывается, существование бесконечной серии решений следует просто из известной теоремы, если рассмотреть дискриминант. (Но у Вас проще.)
Ваше уравнение можно переписать в эквивалентном виде:
$(ab+1)+\frac{a^4+1}{ab-1}=ka^2$

Новая задача.
Рассмотрим
$\frac{a^4+1}{ab-1}=m$, $(a,b,m)\in N$
Интересно, когда при фиксированном (m) уравнение четвёртой степени не имеет бесконечной серии решений при наличии хотя бы одного натурального решения. Оказывается в частном случае более узкая задача решабельна очень элементарно.
Например. Пусть при некотором фиксированном (m) существует натуральное решение $(a_1,b_1,m)$ и $b_1m\neq4n$, тогда не существует решения $(a_2,b_1,m)$. Для уравнения второй степени (уравнение Shadow) оно существовало
по теореме Виета. Для уравнения четвёртой степени предлагаю доказать, что это не так. (Это новая задача.)

[nnosipov]

TR63 в сообщении #924085 писал(а):

Для уравнения четвёртой степени предлагаю доказать, что это не так. (Это новая задача.)

Не нужно. Нет здесь никакой новой задачи.

[TR63]

nnosipov, под новой я подразумеваю не в смысле новизны, а в смысле новая по счёту, т. е. следующая. Я читала, что в общей постановке задача давно решена. Но доказательства такие сложные, что даже не приведены в учебнике. Моё доказательство более узкой задачи очень элементарно. Если Вы против этой задачи, то пусть модераторы перенесут её в другую тему. Мне интересно знать, как другие решают такую задачу.

[nnosipov]

TR63 в сообщении #924126 писал(а):

Моё доказательство более узкой задачи очень элементарно.

Как я понял, речь идёт о доказательстве следующего утверждения: при фиксированном натуральном $m$ существует лишь конечное множество пар $(a,b)$ натуральных чисел, для которых

$$ \frac{a^4+1}{ab-1}=m. $$

Но это действительно очевидно. Не знаю, какой интерес это утверждение может представлять как отдельная задача.

[TR63]

Вы не правильно поняли формулировку.

nnosipov в сообщении #924152 писал(а):

Как я понял, речь идёт о доказательстве следующего утверждения: при фиксированном натуральном $m$ существует лишь конечное множество пар $(a,b)$ натуральных чисел, для которых

$$ \frac{a^4+1}{ab-1}=m. $$

Но это действительно очевидно.

Вот моя формулировка:

TR63 в сообщении #924085 писал(а):

Пусть при некотором фиксированном (m) существует натуральное решение $(a_1,b_1,m)$ и $b_1m\neq4n$, тогда не существует решения $(a_2,b_1,m)$

Речь идёт о невозможности существования второго натурального решения при заданных условиях (обратите внимание на последние слова; на условия; какими именно должны быть решения). Здесь очень красивое элементарное доказательство; используется необычный (мало известный, но в узких кругах известный) метод, который может быть использован для решения другой задачи, имеющейся в литературе с очень громоздким доказательством.
Заметьте, что из существования конечного количества решений не следует существование решений определённого в условии вида решений.

[nnosipov]

TR63 в сообщении #924169 писал(а):

Вот моя формулировка: ...

Но это тоже почти очевидно, причём без этого странного ограничения $b_1m \neq 4n$.

[TR63]

nnosipov в сообщении #924174 писал(а):

причём без этого странного ограничения $b_1m \neq 4n$.

Я исходное уравнение свела к уравнению в натуральных числах:

$$10\beta^6-32(1+m)\beta^2-8(mb)^2=0$$

отсюда взяла ограничение, выполнение которого достаточно для решения задачи. Дальше я не решала.
Раз Вы говорите, что ограничение не нужно вообще, значит и это уравнение в натуральных числах не имеет решений. Иначе, если оно имеет натуральные решения, получим противоречие. Т. е. натуральные решения в исходном уравнении будут существовать в количестве большем единицы (указанного в условии вида). А, Вы утверждаете, что существовать может не более одного. Что можете сказать по поводу этого уравнения. Действительно, оно не имеет натурального решения? Это будет действительно так, если Ваше решение верно. Если Вы уверены, что Ваше решение верно, то в качестве разминки предлагаю доказать, что это уравнение не имеет решений в натураьных числах. Это уравнение получено эквивалентными преобразованиями из исходного. Т.е. требуется найти эти преобразования.

[TR63]

TR63 в сообщении #924193 писал(а):

Я исходное уравнение свела к уравнению в натуральных числах:

$$10\beta^6-32(1+m)\beta^2-8(mb)^2=0$$

отсюда взяла ограничение, выполнение которого достаточно для решения задачи. Дальше я не решала.

TR63 в сообщении #924193 писал(а):

Раз Вы говорите, что ограничение не нужно вообще, значит и это уравнение в натуральных числах не имеет решений.

Последнее утверждение из моего решения, возможно, не следует. У меня доказательство этого факта отсутствует. Однако хочу привести решение задачи в моей формулировке. Хотя задача простая, но метод, которым я её решаю, думаю, небезинтересен. Если я ошибаюсь, то пост можно удалить.

TR63 в сообщении #924085 писал(а):

Рассмотрим
$\frac{a^4+1}{ab-1}=m$, $(a,b,m)\in N$
Пусть при некотором фиксированном (m) существует натуральное решение $(a_1,b_1,m)$ и $b_1m\neq4n$, тогда не существует решения $(a_2,b_1,m)$.

Решать будем методом от противного.
$a^4-mba+(1+m)=0$
Предположим, что существует решение $(a_2;b_1;m)$. В исходное уравнение подставим $(b_1;m)$ и будем искать $(a_2)$.
Тогда, можно сказать, что исходное уравнение имеет два положительных корня и два корня с отрицательной действительной частью:
$a_3=-\alpha+i\beta$ $a_4=-\alpha-i\beta$ $a_1+a_2=2\alpha$
В исходном уравнении сделаем замену переменных $a=x-\alpha$. Тогда в новом уравнении будут корни с противоположными знаками и можно применить теорему Орландо. В итоге получим уравнение:
$80\alpha^6-16(1+m)\alpha^2-(mb_1)=0$

$2\alpha=\beta$, $10\beta^6-32(1+m)\beta^2-8(mb_1)^2=0$

$\beta=2q$, $80q^6-16(1+m)q^2-(mb_1)^2=0$
Отсюда видим, что в заданной области определения уравнение не имеет решений. Противоречие.

[TR63]

TR63 в сообщении #994479 писал(а):

$a_3=-\alpha+i\beta$ $a_4=-\alpha-i\beta$ $a_1+a_2=2\alpha$

Исправление опечатки:

TR63 в сообщении #994479 писал(а):

$a_3=-\alpha+i\beta_1$, $a_4=-\alpha-i\beta_1$, $a_1+a_2=2\alpha$

[Shadow]

TR63, объясните, пожалуйста, как из уравнения

TR63 в сообщении #994479 писал(а):

$80\alpha^6-16(1+m)\alpha^2-(mb_1)=0$

путем замен переменных $2\alpha=\beta=2q$, смысл которых известен только Вам, получаетя уравнение

TR63 в сообщении #994479 писал(а):

$80q^6-16(1+m)q^2-(mb_1)^2=0$

Откуда квадрат появился у свободного члена? Что за фокусы показываете?
А если опечатка, то какое противоречие нашли?
И вообще, если решаете уравнение (доказываете отсутствие решени) в натуральных числах, а получаете "противоречия" и в вещественных, и не только, то стоит немножно задуматся.

[TR63]

Shadow, да опечатка. Должно быть:
$80\alpha^6-16(1+m)\alpha^2-(mb_1)^2=0$ Умножим обе части уравнениния на 8. Далее, путем замены переменных $2\alpha=\beta$ (натуральное, т.к. сумма двух натуральных есть натуральное; ведь $2\alpha=a_1+a_2$) получим уравнение:
$10\beta^6-32(1+m)\beta^2-8(mb_1)^2=0$ Здесь $(\beta)$ может быть только чётным, иначе левая часть не равна правой. Делаем вторую замену $\beta=2q$ Получаем уравнение:
$5\cdot2^7q^6-2^7(1+m)q^2-2^3(mb_1)^2=0$
$80q^6-16(1+m)q^2-(mb_1)^2=0$
По условию $mb\neq4n$. Правая часть не равна левой. Противоречие. Следовательно $(a_2)$ не является натуральным числом. Что и требовалось доказать.

[Sonic86]

TR63 в сообщении #994761 писал(а):

$2\alpha=\beta$

TR63 в сообщении #994761 писал(а):

$\beta=2q$

Shadow в сообщении #994721 писал(а):

путем замен переменных $2\alpha=\beta=2q$, смысл которых известен только Вам

Вы таки не понимаете очевидную вещь, что $\alpha=q$ и что это 2 подстановки можно было вообще не делать? Вы же вот сами пишете:

TR63 в сообщении #994761 писал(а):

$80\alpha^6-16(1+m)\alpha^2-(mb_1)^2=0$

TR63 в сообщении #994761 писал(а):

$80q^6-16(1+m)q^2-(mb_1)^2=0$

Сравните оба уравнения - никакой разницы вообще.

[TR63]

Sonic86, обратите внимание, что из натуральности $(2\alpha)$ не следует натуральность $(\alpha)$. А, в результате проведенных замен у меня получилось натуральное $(q)$. Разница находится в области определения.

-- 24.03.2015, 10:15 --

Согласно, что запись

Sonic86 в сообщении #994872 писал(а):

Shadow в сообщении #994721

писал(а):
путем замен переменных $2\alpha=\beta=2q$

была некорректна. Но этот момент мной исправлен путём раздельного рассмотрения подстановок.

[nnosipov]

TR63, сформулируйте, пожалуйста, внятно, какую задачу Вы решаете.

[TR63]

TR63 в сообщении #994479 писал(а):

TR63 в сообщении #924085

писал(а):
Рассмотрим
$\frac{a^4+1}{ab-1}=m$, $(a,b,m)\in N$
Пусть при некотором фиксированном (m) существует натуральное решение $(a_1,b_1,m)$ и $b_1m\neq4n$, тогда не существует натурального решения $(a_2,b_1,m)$.

Откорректировала (натуральность подразумевалась в ходе предыдущего рассмотрения).