Две поверхности с нулевой гауссовой кривизной

[DLL]

Как известно (Hartman) поверхность $f(s,t)$ с нулевой гауссовой кривизной можно представить в виде

$f = a_1(u) v + b_1(u),$
$s = a_2(u) v + b_2(u),$
$t = a_3(u) v + b_3(u).$

Теперь предположим, у нас есть две поверхности с нулевой гауссовой кривизной, например: $f(s,t)$ и $g(s,t)$. Тогда для $g(s,t)$ следует написать:

$g = A_1(u) v + B_1(u),$
$s = A_2(u) v + B_2(u),$
$t = A_3(u) v + B_3(u).$

Неудобно, что параметризация независимых переменных получается разная.
Можно ли из каких-то общих соображений написать одну параметризацию для обоих поверхностей?

[Утундрий]

Поясните, что такое разные параметризации. А то воспринимается как анекдот о лошади. "Очевидно, что одна лошадь имеет одинаковую масть. Следовательно..."

[DLL]

Ну в смысле, я бы хотел что-нибудь в духе:

$f = A(u,v)$
$g = B(u,v)$
$s = C(u,v)$
$t = D(u,v)$

А по факту можно написать лишь:
$f = A(u,v), s = B(u,v), t = C(u,v)$
$g = A_1(u',v'), s = B_1(u',v'), t = C_1(u',v')$

[Утундрий]

Понятно. Вы просто сами не понимаете чего хотите. Это бывает, довольно часто.

[ИСН]

DLL, положим, у Вас есть поверхность с параметризацией: три координаты выражены как разные функции от $(u,v)$. И есть ещё одна поверхность с параметризацией, другая. Таким образом, есть две поверхности и у них две параметризации. Теперь вопрос: глядя на эти параметризации, каким образом Вы понимаете, одинаковые они или разные?

[пианист]

DLL
Никто же не мешает $u, v$ выразить через $s, t$ и подставить в $f$.
Получится то, что Вам нужно, только формула будет некрасивая. Но красота вещь трудно формализуемая.

[svv]

DLL в сообщении #995628 писал(а):

Как известно (Hartman), поверхность $f(s,t)$ с нулевой гауссовой кривизной можно представить в виде
$f = a_1(u) v + b_1(u),$
$s = a_2(u) v + b_2(u),$
$t = a_3(u) v + b_3(u).$

Хартман утверждает, что в $\mathbb R^3$ любая поверхность с $K=0$ (развёртывающаяся) является линейчатой. Обратное неверно (однополостный гиперболоид).

Я изменю нумерацию для большей наглядности (чтобы $f(s, t)$ можно было понимать как $x_3(x_1, x_2)$).
$x_1= s = a_1(u) v + b_1(u)$,
$x_2= t = a_2(u) v + b_2(u)$,
$x_3= f = a_3(u) v + b_3(u)$,
или $\mathbf r(u, v)=\mathbf a(u) v + \mathbf b(u)$.

По построению через каждую точку $\mathbf r(u_0, v_0)$ поверхности проходит прямая, принадлежащая поверхности, а именно, $\mathbf r(v)=\mathbf a(u_0) v + \mathbf b(u_0)$
Предположим, что направляющий вектор прямой $\mathbf a(u_0)$ неколлинеарен вектору $\mathbf e_3=(0,0,1)$. Это естественно вытекает из того, что $x_3=f(x_1, x_2)$.
Будем называть вертикальными плоскости, параллельные $\mathbf e_3$.
Тогда через любую точку $(u_0, v_0)$ поверхности проходит такая вертикальная плоскость, что её пересечением с поверхностью является прямая. Плоскости с таким свойством назовём прямосекущими. Указанная плоскость параллельна векторам $\mathbf e_3$ и $\mathbf a(u_0)$.
Однако очевидно, что для данной точки поверхности не любая проходящая через неё вертикальная плоскость будет прямосекущей. В общем случае такая найдётся лишь одна — указанная выше.

Возьмем две поверхности $x_3=f(x_1, x_2)$ и $x_3=g(x_1, x_2)$. На первой выберем точку $(x_1, x_2, f(x_1, x_2))$, проведем через неё вертикальную прямосекущую плоскость. Плоскость проходит и через точку $(x_1, x_2, g(x_1, x_2))$ второй поверхности. Будет ли плоскость прямосекущей и по отношению ко второй поверхности? В общем случае — конечно, нет.

Вам остается понять, что если бы искомая параметризация существовала, это означало бы, что всегда да, в противоречии с произвольностью выбора развертывающихся поверхностей.

[Утундрий]

Всё проще гораздо. Нужно для начала добиться от DLL, как он видит две разные поверхности с одинаковыми параметризациями. А поскольку ответить ему не удастся, тема заглохнет сама собой.

[svv]

DLL в сообщении #995673 писал(а):

Ну в смысле, я бы хотел что-нибудь в духе:
$f = A(u,v)$
$g = B(u,v)$
$s = C(u,v)$
$t = D(u,v)$

Я это понял так: здесь $(s, t, f)$ — это точка первой поверхности, $(s, t, g)$ — точка второй поверхности; все эти координаты зависят от параметров $u$ и $v$ так, как в линейчатой поверхности.

В более привычных обозначениях: он хочет, чтобы у координат $x_1, x_2$ была общая для обеих поверхностей зависимость от $u, v$, а у координаты $x_3$ — для каждой поверхности своя.

Так вот, не получится. Тогда бы прямосекущие плоскости совпадали — а с какой стати?

[Утундрий]

Потренируемся на кривых. Хоп! $f\left( u \right),g\left( u \right)$ - одинаковые параметризации! Хоп! $f\left( u \right),g\left( v \right)$ - уже разные! У, шайтан!

[DLL]

Хорошо. То есть нельзя выбрать одинаковую линейчатую параметризацию
$s = a_2(u) v + b_2(u),$
$t = a_3(u) v + b_3(u).$
сразу для двух поверхностей. А если отказаться от линейчатых и искать в каком-нибудь более общем классе $s(u,v), t(u,v)$?

[svv]

Ой, ну это безбрежно, как когда Ганг впадает в океан.

[B@R5uk]

DLL, может вы хотите две линейчатые поверхности наложить друг на друга и общую параметризацию выбрать именно для наложения, а потом развернуть, но оставить параметризацию прежней?

[DLL]

Допустим в пространстве $(s, t, F)$ заданы две поверхности $f(s,t), g(s,t)$ с нулевой гауссовой кривизной, т.е. можно считать что они удовлетворяют двум УРЧП:
$f_{ss} f_{tt} - f_{st}^2 = 0,$
$g_{ss} g_{tt} - g_{st}^2 = 0.$

Было бы исключительно здорово, если бы можно было параметризовать так:
$f = a_1(u) v + b_1(u),$
$g = a_2(u) v + b_2(u),$
$s = a_3(u) v + b_3(u),$
$t = a_4(u) v + b_4(u).$

Но сие к сожалению невозможно.

Есть ли какие-нибудь геометрические соображения в пользу связанной параметризации, например следующего вида:
$f = c_1(u) v^2 + a_1(u) v + b_1(u),$
$g = c_2(u) v^2 + a_2(u) v + b_2(u),$
$s = c_3(u) v^2 + a_3(u) v + b_3(u),$
$t = c_4(u) v^2 + a_4(u) v + b_4(u).$
P.S: в концептуальном плане мне бы хотелось сохранить тот факт, что в определенном смысле параметры $u$ и $v$ разделены;

[svv]

Хартман доказал, что поверхность с $K=0$ допускает параметризацию $\mathbf r(u, v)=\mathbf a(u) v + \mathbf b(u)$. То есть она линейчатая. То есть каждая точка $(u_0, v_0)$ лежит на прямой $\mathbf r(v)=\mathbf a(u_0) v + \mathbf b(u_0)$, принадлежащей поверхности, — это очевидно из параметрического уравнения поверхности.

Вы предлагаете другое параметрическое уравнение $\mathbf r(u, v)=\mathbf c(u) v^2+ \mathbf a(u) v + \mathbf b(u)$. Но теперь нет никаких гарантий, что поверхность будет линейчатой. Скорее наоборот. Т.е. я могу придумать какие-то частные случаи, в первую очередь $\mathbf c(u)=0$ (что возвращает нас к предыдущей ситуации), но, вообще говоря, это не так. Во всяком случае, при постоянном $u$ никаких прямых, как раньше, не получается. А если поверхность не линейчатая, то, согласно Хартману, и $K\neq 0$.