Линейный трансформатор

[Sicker]

Рассмотрим идеальный линейный трансформатор, будет считать, что все активные сопротивления равны нулю
Тогда он описывается такими уравнениями
$U_{1}-M\frac{di_{2}}{dt}=L_{1}\frac{di_{1}}{dt}$
$M\frac{di_{1}}{dt}=-L_{2}\frac{i_{2}}{dt}$
Где $U_{1}$ напряжение, поданное на зажимы первого трансформатора, а $M$-взаимная индуктивность
Пусть $L_{1}=L_{2}=L$
Тогда $M=L$ и $\frac{di_{1}}{dt}=-\frac{di_{2}}{dt}$ и тогда $U_{1}=0$, хотя он задан по начальному условию
Те система несовместима

[Cos(x-pi/2)]

Во 2-ом уравнении системы должно быть слагаемое $U_2.$ (Обе обмотки равноправны, поэтому и уравнения должны переходить одно в другое при замене номеров 1, 2.)

А раз Вы положили $U_2 =0$, то это значит, что вторичная обмотка замкнута накоротко, и поэтому первичная обмотка утратила индуктивность и в свою очередь стала коротким замыканием для любого источника напряжения $U_1.$

[Sicker]

а разве $U_{2}$ не равняется $M\frac{di_{1}}{dt}$?

-- 26.03.2015, 18:27 --

Так еще и в википедии написано

[Cos(x-pi/2)]

Ещё добавлю к своему ответу такой частный случай: $U_2=0$ может быть и без замыкания вторичной обмотки, а просто в частном случае, когда "приложенное напряжение" на первичной обмотке равно нулю, т.е. при $U_1=0.$ Тут система получается совместной.

Sicker в сообщении #996039 писал(а):

а разве $U_{2}$ не равняется $M\frac{di_{1}}{dt}$?

Нет, не равняется. $M\frac{di_{1}}{dt}$ - это лишь вклад в скорость изменения магнитного потока вторичной обмотки от изменения тока первичной обмотки. Вот в сумме со вкладом $L_2\frac{di_{2}}{dt}$ от изменения тока самой вторичной обмотки он и даёт напряжение $U_2$ на зажимах вторичной обмотки. Всё это аналогично тому, что описывается 1-ым уравнением системы.

[Sicker]

Тогда $U_{1}=U_{2}$?

[Cos(x-pi/2)]

Да, если обмотки одинаковые.

[Sicker]

Не понял, получается мы $U_{1}$ клонировали чтоли?

[Cos(x-pi/2)]

В данном примере (т.е. с одинаковыми обмотками) да. Но так не принято говорить, и по этим по вашим словам смею предположить, что Вам не помешало бы познакомиться с конкретными примерами использования трансформаторов в электротехнике и в радиотехнике, если интересно.

"Клонирование", как Вы выразились, $U_2=U_1$ применяют в тех случаях, где необходимо передать переменное напряжение $U_1$ от источника напряжения во вторичную электрическую цепь, но при этом не соединять проводами вторичную цепь с источником (т.е. исключить нежелательную возможность протекания постоянного тока между ними. Это называется "обеспечить гальваническую развязку" между нагрузкой и источником.)

Если надо увеличить или уменьшить амплитуду передаваемого в нагрузку напряжения, то делают обмотки с разным числом витков (тогда $L_2 \neq L_1$). Так бывает, например, в задачах, где сопротивления нагрузки и источника различны, а надо их "согласовать" для оптимальной передачи электрической мощности. (Студенты знакомятся с такими сюжетами в "теории электрических цепей" или в "теор. основах электротехники" и в т.п. учебных курсах).

[ewert]

Sicker в сообщении #996039 писал(а):

а разве $U_{2}$ не равняется $M\frac{di_{1}}{dt}$?

Равняется, но только в предельном случае, если выходная цепь разорвана, т.е. если сопротивление нагрузки бесконечно. Например, сопротивление идеального вольтметра именно бесконечно, т.е. реального (даже стрелочного) -- очень большое. Так что если Вы попытаетесь измерить вольтметром напряжение на выходных клеммах как таковых, без подключённой нагрузки, то именно $M\frac{di_{1}}{dt}$ и увидите; наверняка Вика именно это и имела в виду, перечитайте внимательнее.

[Cos(x-pi/2)]

"Пора нАчать итожить наговоренное" ((с) М.С. Горбачев ) :))

Исходим из системы уравнений (вывод таких ур-й тоже интересен, но о нём лучше самому прочесть в ФЛФ-6):

$U_1=L_1 \dfrac{di_1}{dt} + M \dfrac{di_2}{dt}$ ,

$U_2=L_2 \dfrac{di_2}{dt} + M \dfrac{di_1}{dt}$ .

Разрыв цепи вторичной обмотки означает, что все время ток $i_2=0$ и поэтому $di_2/dt=0.$ (Аналогично запишется и условие разрыва первичной обмотки, если надо). Тогда из 2-го ур-я получается как раз то, что выше сказал ewert: $U_2=M di_1/dt.$

Теперь пусть разрывов нет, а наоборот - обе обмотки замкнуты накоротко. Тогда все время $U_1=0$ и $U_2=0.$ Уравнения (относительно производных от токов) становятся однородными; чтобы система однородных ур-й могла иметь ненулевые решения, её детерминант должен быть равен нулю. Отсюда мы видим, что $M^2=L_1 L_2,$ т.е.

$M=\sqrt{L_1 L_2}$ .

Тогда возвращаемся к исходной системе и в уравнениях выносим за скобку корень из $L$ с соответствующим номером:

$U_1=\sqrt{L_1} \, ( \sqrt{L_1}\dfrac{di_1}{dt} + \sqrt{L_2}\dfrac{di_2}{dt})$ ,

$U_2=\sqrt{L_2} \, ( \sqrt{L_2}\dfrac{di_2}{dt} + \sqrt{L_1}\dfrac{di_1}{dt})$ .

Теперь видно, что "коэффициент трансформации" составляет

$\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{\sqrt{L_2}}{\sqrt{L_1}}$ .

Для оценок можно полагать, что индуктивность обмотки $L$ пропорциональна квадрату числа витков ($N^2$); тогда коэффициент трансформации оценивается как $N_2/N_1.$

[Sicker]

А как найти скорость изменения токов? Считаем, что нам дано только $U_{1}$

[Cos(x-pi/2)]

Sicker
Ещё надо задать, что подключено ко вторичной обмотке.

Например, если ничего не подключено, т.е. цепь разомкнута, то всё время $i_2=0$ и поэтому $\frac{di_2}{dt}=0.$ Из 1-го ур-я системы тогда имеем $\frac{di_1}{dt}=\frac{U_1}{L_1}.$

Если подключен резистор $R_2,$ то $U_2=-i_2R_2,$ и это же напряжение равно (в случае с $M=\sqrt{L_1 L_2}$ ) напряжению на первичной обмотке, умноженному на "коэффициент трансформации": $-i_2R_2=\sqrt{L_2/L_1}U_1.$ Отсюда находим производную тока 2, подставляем в 1-е ур-е системы и находим из него производную тока 1.

(про M)

Раз Вы до сих пор не опровергли приведённый мной выше халтурный "вывод" формулы $M=\sqrt{L_1 L_2},$ то сделаю это сам :)) Я привёл его как самый короткий "вывод", но он неубедительный: ведь ничто не заставляет нас требовать, чтобы в короткозамкнутых обмотках существовали ненулевые скорости изменения токов. На самом деле $M$ вполне может быть меньше $\sqrt{L_1 L_2}$ (и тогда указанная выше формула для "коэффициента трансформации" уже не верна). Условие $M \le \sqrt{L_1 L_2}$ следует из неотрицательности энергии магнитного поля в трансформаторе при любых $i_1$ и $i_2$.

В трансформаторе стараются сделать магнитную связь между обмотками максимальной: в идеальном случае $M=\sqrt{L_1 L_2}.$ В полосовых фильтрах с индуктивной связью между LC-контурами, которые применяются в радиотехнике, коэффициенты взаимной индукции часто выбирают не самыми большими, а такими, какие нужны для получения требуемой АЧХ.

[Sicker]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1000684 писал(а):

Отсюда находим производную тока 2, подставляем в 1-е ур-е системы и находим из него производную тока 1.

Те, $\frac{di_2}{dt}=0$, тк $U_1=\operatorname{const}$ и $\frac{di_1}{dt}=\frac{U_1}{L}$ (считаем что $L_1=L_2=M=L$) и тогда $U_2=L\frac{di_1}{dt}=U_1$
и $U_2=U_1$?
А кстати, а нельзя ли записать, что $U_2=i_2R$ и изменить второе уравнение, чтобы было
$-U_2=L_2 \dfrac{di_2}{dt} + M \dfrac{di_1}{dt}$

-- 06.04.2015, 00:38 --

Просто $U_2=-i_2R_2,$ противоречит закону Ома

-- 06.04.2015, 01:13 --

А это че получается, что если мы сделаем $L_2>>L_1$, то мы можем получить сколь угодно большую $U_2$ и ток $i_2=\frac{U_2}{R_2}$ и соответственно выделяемую мощность?

[rustot]

Sicker в сообщении #1000731 писал(а):

А это че получается, что если мы сделаем $L_2>>L_1$, то мы можем получить сколь угодно большую $U_2$ и ток $i_2=\frac{U_2}{R_2}$ и соответственно выделяемую мощность?

да. но на столько же прирастет и потребляемая мощность в первичной цепи. если ко вторичной цепи подключено $R_2$ то с точки зрения внешней цепи первичная обмотка ведет себя за счет обратной связи неотличимо по протекающим токам от индуктивности величиной $L_1$, параллельно которой подключено сопротивление величиной $R_1' = R_2 \frac{L_1}{L_2}$

[Cos(x-pi/2)]

rustot опередил, пока я два часа ответ в блокноте печатал :)) ну, всё-таки выкладываю тоже:

Sicker в сообщении #1000731 писал(а):

Просто $U_2=-i_2R_2,$ противоречит закону Ома

Прям :) Если щупы вольтметра подключим к резистору крест накрест, то получим отрицательное $U$ на его шкале, и чё - сразу закон Ома в топку?

Дело тут вот какое: выбор знаков напряжений и токов условен; но, чтобы не запутаться, полезно в наших уравнениях различать напряжение "подаваемое на обмотку от внешнего источника" и напряжение "снимаемое с обмотки для питания нагрузки".

Когда мы говорим, что на первичную обмотку подано $U_1(t)$ от какого-то внешнего источника, то в 1-ом уравнении можем считать, что ток $i_1(t)$ поступает в обмотку 1 из внешнего источника; при этом обмотка 1 является нагрузкой для источника и "потребляет от него" мгновенную мощность $P_1(t)=i_1U_1.$ (Кавычки поставил потому, что эта мощность может быть переменного знака: энергия часть времени потребляется от внешнего источника, а часть времени возвращается в него.)

А когда мы говорим, что со вторичной обмотки снимается напряжение $U_2$ для питания вторичной цепи, то подразумеваем, что обмотка 2 сама служит источником э.д.с. во вторичной цепи. Поэтому разумно считать, что ток вторичной обмотки противоположен по знаку току $i_{R2}$ в нагрузке: $i_{R2}(t)=-i_2(t).$ (Это аналогично ситуации в простейшей замкнутой цепи: когда резистор подключен параллельно батарейке с э.д.с. $U_2,$ ток в батарейке и ток в резисторе мы считаем противоположными по знаку.) С законом Ома всё в порядке: $U_2 = -i_2R_2 = i_{R2}R_2.$

Sicker в сообщении #1000731 писал(а):

... мы можем получить сколь угодно большую ... выделяемую мощность?

Ага, но так, чтобы не оказаться в пургатории. Суровая правда жизни несколько отлична от фантастики, мужайтесь:

Запишем выражение для мгновенной мощности $P_1(t)$, потребляемой от источника питания первичной цепи; для этого умножим 1-е уравнение (всё той же системы двух уравнений) на $i_1(t):$

$P_1 = i_1U_1=L_1i_1 \frac{di_1}{dt} + M i_1\frac{di_2}{dt}$ .

К последнему члену добавим и вычтем $M i_2\frac{di_1}{dt},$ чтобы выделить полную производную по времени (а первый член уже и так является полной производной); имеем:

$P_1=\frac{d}{dt}( \frac{1}{2}L_1 i_1^2 + M i_1 i_2) - M i_2\frac{di_1}{dt}$ .

Выражение для $- M i_2\frac{di_1}{dt}$ мы сюда возьмём из 2-го уравнения системы; ведь если 2-е ур-е системы (в котором $U_2=-i_2 R_2 = i_{R2}R_2$) умножить на $i_{R2}=-i_2,$ то получим:

$P_2 = i_{R2}^2 R_2 = -i_2 L_2 \frac{di_2}{dt} - M i_2 \frac{di_1}{dt}$ , так что

$- M i_2 \frac{di_1}{dt}=P_2 + \frac{d}{dt}( \frac{1}{2}L_2 i_2^2)$ ,

где $P_2(t)$ есть мощность, потребляемая нагрузкой во вторичной цепи (в нашем примере - резистором $R_2$). Таким образом, для $P_1(t)$ имеем окончательно:



$P_1=\frac{d}{dt}( \frac{1}{2}L_1 i_1^2 + \frac{1}{2}L_2 i_2^2 + M i_1 i_2) + P_2$ .

Выражение в скобках есть энергия магнитного поля как функция токов в обмотках:

$\varepsilon_{\text{магн}}=\frac{1}{2}L_1 i_1^2 + \frac{1}{2}L_2 i_2^2 + M i_1 i_2$ ,

поэтому полученную выше формулу баланса мощностей (т.е. закон сохранения энергии) можем записать ещё и так:

$P_1=\frac{d}{dt}( \varepsilon_{\text{магн}} ) + P_2$ .

Здесь член с производной по времени называют "реактивной мощностью". Как видим, потребляемая первичной цепью мощность $P_1(t)$ идёт на изменение энергии поля (реактивная мощность) и на выделение мощности $P_2(t)$ в нагрузке вторичной цепи.



Обычно рассматривают периодические во времени токи и напряжения. Тогда энергия поля $\varepsilon_{\text{магн}}$ тоже периодически колеблется во времени (ес-нно, оставаясь неотрицательной). Среднее за период от производной по времени периодической функции равно нулю, поэтому:

$ \langle P_1 \rangle= \langle P_2 \rangle$ ,

т.е. в стационарном режиме (при периодических колебаниях) среднее по времени за период от реактивной мощности равно нулю. Чему равно $ \langle P_2 \rangle,$ зависит от вида нагрузки. Если нагрузкой будет "реактивный" элемент, например - электрическая ёмкость, которая, как известно, накапливает энергию в форме энергии электрического поля, то получится $\langle P_2 \rangle = 0,$ а тогда и $\langle P_1 \rangle = 0$ - реактивная нагрузка в среднем не потребляет мощность. В нашем же примере с резистором нагрузка "активная" (в резисторе энергия не "накапливается", а диссипирует в окружающую среду в форме джоулева тепла), потребляемая ею усреднённая за период мощность есть:

$\langle P_1 \rangle = \langle P_2 \rangle = \langle i_2^2 \rangle R_2.$