2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение25.03.2015, 23:17 


16/12/14
472
Постепенно продвигаясь по учебнику Позняка-Шикина, я закончил изучение первых параграфов, и столкнулся сo следующей задачей: Нам дана кривая:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &x = \varphi(t)& \\
 &y = \psi(t)& \\
 &z = \theta(t)& \\
\end{array}
\right.$
Или, что тоже самое,
$\mathbf{r}= \mathbf{r}(t)$
Теперь пусть в точке $t_0$, наша вектор-функция, задающая данную кривую, имеет производные 1 и 2 порядков, причем вектора которых неколлинеарны, требуется записать в общем виде для точки $t_0$ уравнения касательной, нормали, бинормали, соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей. Прошу проверить правильность рассуждений.


1. Самая простая задача - написать уравнение касательной, очевидно что она направлена по первой производной, и можно сразу записать ее уравнение в векторном виде:
$\mathbf{k} = \mathbf{\dot{r}}(t_0)q + \mathbf{r}(t_0)$, где $q$ - параметр пробегающий от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Можно переписать эту формулу в параметрическом виде:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
&x=\dot{\varphi}(t)q + \varphi(t_0) & \\
&y = \dot{\psi}(t)q + \psi(t_0)& \\
&z = \dot{\theta}(t)q + \theta(t_0)& \\
\end{array}
\right.$

2. Теперь запишем уравнение нормали, учтя, что она направлена вдоль вектора второй производной, что сразу же позволяет нам записать ее уравнение в векторном виде:
$\mathbf{n} = \mathbf{\ddot{r}}(t_0)m + \mathbf{r}(t_0) $, где m - параметр пробегающий от минус бесконечности до плюс бесконечности. Можно переписать это в параметрической форме:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &x = \ddot{\varphi}(t_0)m + \varphi(t_0)& \\
 &y = \ddot{\psi}(t_0)m + \psi(t_0)& \\
 &z= \ddot{\theta}(t_0)m + \theta(t_0)&\\
\end{array}
\right.$

3. Теперь запишем уравнение бинормали, учтя, что она направлена вдоль векторного произведения производной первого и второго порядка вектор-функции, определяющей заданную кривую, для начала нам стоит найти векторное произведение:
$\mathbf{\dot{r}}(t_0)\times\mathbf{\ddot{r}}(t_0) = \begin{bmatrix}
 \mathbf{i}&\mathbf{j}  &\mathbf{k} \\
\dot{\varphi}(t_0) & \dot{\psi}(t_0) &\dot{\theta}(t_0)\\
\ddot{\varphi}(t_0) & \ddot{\psi}(t_0) &\ddot{\theta}(t_0)\\
\end{bmatrix}$

Дальше рассуждаем по стандартной схеме: записываем уравнение бинормали в векторном виде:
$\mathbf{b} = [\mathbf{\dot{r}}(t_0)\times\mathbf{\ddot{r}}(t_0)]n + \mathbf{r}(t_0)$, где $n$ - произвольный параметр, пробегающий значения от минус бесконечности до плюс бесконечности; можно переписать это в параметрической форме, учтя указанное выше векторное произведение:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &x = \begin{bmatrix}
\dot{\psi}(t_0) &\dot{\theta}(t_0)\\
\ddot{\psi}(t_0) &\ddot{\theta}(t_0)\\
\end{bmatrix}n + \varphi(t_0) \\
 &y = \begin{bmatrix}
 \dot{\varphi}(t_0)&\dot{\theta}(t_0)  \\
 \ddot{\varphi}(t_0)&\ddot{\theta}(t_0)   \\
\end{bmatrix}n + \psi(t_0) \\
 &z = \begin{bmatrix}
\dot{\varphi}(t_0) & \dot{\psi}(t_0) \\
\ddot{\varphi}(t_0) & \ddot{\psi}(t_0) \\ 
\end{bmatrix}n + \theta(t_0) \\
\end{array}
\right.$

Для начала хотелось бы уточнить правильно ли я пишу уравнения для линий, а потом уже перейду к плоскостям. Прошу не судите строго, так как можно сказать, что я делаю лишь первые шаги в данной области математики.

P.S. Подскажите пожалуйста, как правильно записать определить с прямыми линиями, чтобы без углов, как у меня они сейчас записаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение26.03.2015, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Если Позняк и Шикин смогли в формуле $\mathbf r=\mathbf r(t)$ использовать одну букву для вектора и вектор-функции, то они безусловно смогут, совершив над собой не слишком большое насилие, сделать то же и для скаляров. Нечего вводить кучу лишних букв, ещё и запоминать, что $\theta$ относится к $z$, а $\psi$ не к $x$, а к $y$. Итак:
$x(q)=\dot{x}(t_0)q + x(t_0)$
$y(q)=\dot{y}(t_0)q + y(t_0)$
$z(q)=\dot{z}(t_0)q + z(t_0)$
или $\mathbf k(q)=\mathbf{\dot{r}}(t_0) q+\mathbf r(t_0)$
Обратите внимание, что производные в первых слагаемых у меня берутся для значения параметра $t_0$, у Вас для $t$.

Второе. Вы противопоставляете векторную и параметрическую форму записи. Но векторная форма $\mathbf k(q)=\mathbf{\dot{r}}(t_0) q+\mathbf r(t_0)$ тоже параметрическая! Только векторная.
Pulseofmalstrem в сообщении #995694 писал(а):
Теперь запишем уравнение нормали, учтя, что она направлена вдоль вектора второй производной
То всё были замечания (и не все к Вам), а вот это уже ошибка. Вы под второй производной $\mathbf{\ddot r(t)}$ понимаете $\frac{d^2\mathbf r}{dt^2}$. Но этот вектор (и не только величина, но и направление!) зависит от параметризации кривой. Смотрите:
$\frac{d^2\mathbf r}{dt^2}=\frac {ds}{dt}\frac{d}{ds}\left(\frac {ds}{dt}\frac{d\mathbf r}{ds}\right)=\lambda\frac{d}{ds}\left(\lambda\frac{d\mathbf r}{ds}\right)=\lambda\left(\frac{d\lambda}{ds}\frac{d\mathbf r}{ds}+\lambda \frac{d^2\mathbf r}{ds^2}\right)$
Здесь для краткости $\lambda=\frac {ds}{dt}$.
Как видите, при изменении параметризации новая «нормаль» $\frac{d^2\mathbf r}{dt^2}$ является линейной комбинацией старой нормали $\frac{d^2\mathbf r}{ds^2}$ и касательной $\frac{d\mathbf r}{ds}$. И если $\frac{d\lambda}{ds}\neq 0$, по крайней мере одна из «нормалей» направлена под углом к кривой.

Так какая же параметризация даёт истинную нормаль?

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение26.03.2015, 03:07 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
svv в сообщении #995721 писал(а):
Так какая же параметризация даёт истинную нормаль?
Какой-то, по-моему, сложный и обходной путь вы выбрали, нет? Натуральная параметризация — как-то очень сложно, если вообще возможно. В википедии как-то попроще — соприкасающаяся плоскость и вектор нормали, который в ней лежит и перпендикулярен касательной. ТС, подозреваю, просто невнимательно читал учебник.

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение26.03.2015, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
iifat
Это я показывал не путь решения задачи. Это я продемонстрировал проблему. В том-то и дело, что не было указано, что параметр должен быть натуральным. (И обычно натуральный параметр обозначается $s$, а $t$ — произвольный параметр.) Поэтому я вправе считать, что ТС этого не требовал. Соответственно, имеем следующую проблему:

Если другой человек использует другую параметризацию (ни один из параметров не предполагается натуральным), то найденная им по методу ТС нормаль будет связана с «нашей» нормалью так-то. Вместе они нормалями, за исключением линейной замены параметра, быть не могут. Но тогда где гарантия, что именно наша собственная нормаль правильная, а не найденная другим человеком?

Т.е., уточню ещё раз, в моём сообщении не было ни длинного, ни короткого метода решения. Только критика.

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение26.03.2015, 15:11 


16/12/14
472
svv
Я еще раз осторожно перечитал учебник, и понял что действительно ошибся, мне кажется теперь, что правильнее будет сделать так:
Задать касательную через производную-вектор функции, задать соприкасающуюся плоскость, задать нормаль, как линию лежащую в соприкасающейся плоскости и перпендикулярную касательной (получится, что направляющий орт нашей нормали будет при скалярном умножении на направляющий вектор касательной давать ноль и при умножении на нормальный вектор соприкасающей плоскости давать ноль), а потом уже переходить к бинормали. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение26.03.2015, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Да, верно. Только... как Вы будете задавать соприкасающуюся плоскость? Наверное (помимо точки, через которую она проходит), нормалью к ней — но это и есть уже бинормаль.
Так что бинормаль естественным образом получится у Вас раньше, чем нормаль.

А бинормаль можно получить как векторное произведение касательной и «плохой нормали» (думаю, Вы меня поняли :-) ).

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение26.03.2015, 17:43 


16/12/14
472
svv
Соприкасающеюся плоскость, я задам как плоскость $\pi$ к которой стремится переменная плоскость $\pi_N$, проходящая через касательную к кривой в точке $M_0$, и некую точку $M$, при $M \to M_0$

P.S. Попусту, воспроизведу прочитанное в учебнике, так как там соприкасающаяся плоскость задавалась именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение26.03.2015, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Хорошо. Наверное, это и сведется в конце концов к поиску плоскости, которой параллельна как первая, так и вторая производная радиус-вектора в точке (эту вторую я назвал «плохая нормаль»).
Но так как касательная и плохая нормаль определяют ту же плоскость, что касательная и просто нормаль, их векторное произведение тоже коллинеарно бинормали.

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение26.03.2015, 18:24 


16/12/14
472
svv в сообщении #996029 писал(а):
Хорошо. Наверное, это и сведется в конце концов к поиску плоскости, которой параллельна как первая, так и вторая производная радиус-вектора в точке (эту вторую я назвал «плохая нормаль»).
Но так как касательная и плохая нормаль определяют ту же плоскость, что касательная и просто нормаль, их векторное произведение тоже коллинеарно бинормали.

В конечном итоге, удается показать, что нормальный вектор соприкасающейся плоскости задается векторным произведением производной первого и второго порядков (в доказательстве используется формула Тейлора с остаточным членом в виде символа o(Пеано вроде бы))

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение26.03.2015, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Великолепно. Это и есть бинормаль (с точностью до коэффициента).

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение26.03.2015, 18:40 


16/12/14
472
svv
Ну да (это значит, что бинормаль я правильно задал), и стало быть у нас нет проблем с круговой аргументацией!

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение27.03.2015, 14:14 


16/12/14
472
Осмыслив допущенные ошибки, я попробовал еще раз, и вот что получилось:

0. Еще раз запишем условие задачи:
У нас есть произвольная кривая в пространстве:
$\mathbf{R}= \mathbf{r}(t)$
Запишем также и параметрический вид (чтобы потом было ясно, какие буковки что обозначают):
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &x = \varphi(t)& \\
 &y = \psi(t)& \\
 &z = \chi(t)& \\ 
\end{array}
\right.$
И пусть в некоторой точке, соответствующей значению $t_0$, наша кривая имеет производные первого и второго порядков, причем не коллинеарные друг другу. Задача записать уравнения касательной, нормали, бинормали, соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей в этой точке.

1. Для начала запишем уравнение касательной, направленной по вектору $\mathbf{R}'$:
$\mathbf{t}(q)= \mathbf{r}(t_0) + q\mathbf{r'}(t_0)$, где $q$ - произвольный параметр.

2. Теперь запишем уравнение соприкасающейся плоскости; ее нормальный вектор задается векторным произведением $ \mathbf{r}'(t_0)\times\mathbf{r}''(t_0)$, что можно отдельно выписать:
$ \mathbf{r}'(t_0)\times\mathbf{r}''(t_0) = \begin{bmatrix}
 \mathbf{i}&\mathbf{j}  & \mathbf{k}\\
\varphi '(t_0) & \psi '(t_0)   & \chi '(t_0)  \\
\varphi ''(t_0) & \psi ''(t_0)   & \chi ''(t_0)  \\
\end{bmatrix}$
Отсюда уравнение соприкасающейся плоскости выписывается:
$\begin{bmatrix}
 x - \varphi(t_0)&  y - \psi(t_0) & z - \chi(t_0) \\
\varphi '(t_0) & \psi '(t_0)   & \chi '(t_0)  \\
\varphi ''(t_0) & \psi ''(t_0)   & \chi ''(t_0)  \\
\end{bmatrix} = 0$

3. Теперь запишем уравнение нормали.
Пусть $\mathbf{e} = \left\lbrace x_1,y_1, z_1\right\rbrace$ - ее орт, исходя из условий того что нормаль лежит в соприкасающейся плоскости и ортогональна касательной можно записать следующие уравнения, определяющие орт нормали:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &\begin{bmatrix}
x_1& y_1  & z_1\\
\varphi '(t_0) & \psi '(t_0)   & \chi '(t_0)  \\
\varphi ''(t_0) & \psi ''(t_0)   & \chi ''(t_0)  \\
\end{bmatrix}= 0& \\
\\
 & x_1\varphi '(t_0) + y_1\psi '(t_0) + z_1 '\chi '(t_0) = 0& \\
\\
 & x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 1& \\
\end{array}
\right.$$

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение27.03.2015, 14:52 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
Оно, конечно же, всё так (вот только во втором уравнении лишний штрих у $z$), но больно уж в обход как-то.
Итак: у вас есть вектор (касательной) и ещё вектор (перпендикуляр соприкасающейся плоскости). Вам надо найти вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярный первому. Напишите формулу, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение27.03.2015, 22:57 


16/12/14
472
iifat
Кажется так. Условие: Нам даны два вектора:
$\mathbf{a} = \left\lbrace x_1; y_1; z_1\right\rbrace \\
\mathbf{b} = \left\lbrace x_2, y_2, z_2\right\rbrace $
И нам надо провести третий вектор, который был бы ортогонален вектору $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, вообще таких векторов можно много разных провести (отличных по длине), однако в общем виде представление у них будет такое($\mathbf{c}$ - искомый):
$\mathbf{с} = n[\mathbf{a} \times \mathbf{b}] = n\begin{bmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
 x_1& y_1 & z_1 \\
 x_2& y_2 & z_2 \\
\end{bmatrix} = n\left\lbrace \begin{bmatrix}
 y_1 & z_1 \\
 y_2 & z_2  \\
\end{bmatrix};\begin{bmatrix}
 x_1& z_1 \\
 x_2 & z_2
\end{bmatrix};\begin{bmatrix}
 x_1& y_1 \\
 x_2& y_2  \\
\end{bmatrix}\right\rbrace$

P.S. Хмха, напоминает кусок векторного уравнения, не хватает только радиус-вектора какой-нибудь точки, действительно и зачем я с ортом мудрил?

 Профиль  
                  
 
 Re: В продолжение азов дифференциальной геометрии.
Сообщение28.03.2015, 03:12 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
Ну, так воспользуйтесь же этими знаниями

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group