В продолжение азов дифференциальной геометрии.

[Pulseofmalstrem]

Постепенно продвигаясь по учебнику Позняка-Шикина, я закончил изучение первых параграфов, и столкнулся сo следующей задачей: Нам дана кривая:
$\left\{ \begin{array}{rcl} &x = \varphi(t)& \\ &y = \psi(t)& \\ &z = \theta(t)& \\ \end{array} \right.$
Или, что тоже самое,
$\mathbf{r}= \mathbf{r}(t)$
Теперь пусть в точке $t_0$, наша вектор-функция, задающая данную кривую, имеет производные 1 и 2 порядков, причем вектора которых неколлинеарны, требуется записать в общем виде для точки $t_0$ уравнения касательной, нормали, бинормали, соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей. Прошу проверить правильность рассуждений.


1. Самая простая задача - написать уравнение касательной, очевидно что она направлена по первой производной, и можно сразу записать ее уравнение в векторном виде:
$\mathbf{k} = \mathbf{\dot{r}}(t_0)q + \mathbf{r}(t_0)$, где $q$ - параметр пробегающий от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Можно переписать эту формулу в параметрическом виде:
$\left\{ \begin{array}{rcl} &x=\dot{\varphi}(t)q + \varphi(t_0) & \\ &y = \dot{\psi}(t)q + \psi(t_0)& \\ &z = \dot{\theta}(t)q + \theta(t_0)& \\ \end{array} \right.$

2. Теперь запишем уравнение нормали, учтя, что она направлена вдоль вектора второй производной, что сразу же позволяет нам записать ее уравнение в векторном виде:
$\mathbf{n} = \mathbf{\ddot{r}}(t_0)m + \mathbf{r}(t_0) $, где m - параметр пробегающий от минус бесконечности до плюс бесконечности. Можно переписать это в параметрической форме:
$\left\{ \begin{array}{rcl} &x = \ddot{\varphi}(t_0)m + \varphi(t_0)& \\ &y = \ddot{\psi}(t_0)m + \psi(t_0)& \\ &z= \ddot{\theta}(t_0)m + \theta(t_0)&\\ \end{array} \right.$

3. Теперь запишем уравнение бинормали, учтя, что она направлена вдоль векторного произведения производной первого и второго порядка вектор-функции, определяющей заданную кривую, для начала нам стоит найти векторное произведение:
$\mathbf{\dot{r}}(t_0)\times\mathbf{\ddot{r}}(t_0) = \begin{bmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j} &\mathbf{k} \\ \dot{\varphi}(t_0) & \dot{\psi}(t_0) &\dot{\theta}(t_0)\\ \ddot{\varphi}(t_0) & \ddot{\psi}(t_0) &\ddot{\theta}(t_0)\\ \end{bmatrix}$

Дальше рассуждаем по стандартной схеме: записываем уравнение бинормали в векторном виде:
$\mathbf{b} = [\mathbf{\dot{r}}(t_0)\times\mathbf{\ddot{r}}(t_0)]n + \mathbf{r}(t_0)$, где $n$ - произвольный параметр, пробегающий значения от минус бесконечности до плюс бесконечности; можно переписать это в параметрической форме, учтя указанное выше векторное произведение:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &x = \begin{bmatrix} \dot{\psi}(t_0) &\dot{\theta}(t_0)\\ \ddot{\psi}(t_0) &\ddot{\theta}(t_0)\\ \end{bmatrix}n + \varphi(t_0) \\ &y = \begin{bmatrix} \dot{\varphi}(t_0)&\dot{\theta}(t_0) \\ \ddot{\varphi}(t_0)&\ddot{\theta}(t_0) \\ \end{bmatrix}n + \psi(t_0) \\ &z = \begin{bmatrix} \dot{\varphi}(t_0) & \dot{\psi}(t_0) \\ \ddot{\varphi}(t_0) & \ddot{\psi}(t_0) \\ \end{bmatrix}n + \theta(t_0) \\ \end{array} \right.$

Для начала хотелось бы уточнить правильно ли я пишу уравнения для линий, а потом уже перейду к плоскостям. Прошу не судите строго, так как можно сказать, что я делаю лишь первые шаги в данной области математики.

P.S. Подскажите пожалуйста, как правильно записать определить с прямыми линиями, чтобы без углов, как у меня они сейчас записаны.

[svv]

Если Позняк и Шикин смогли в формуле $\mathbf r=\mathbf r(t)$ использовать одну букву для вектора и вектор-функции, то они безусловно смогут, совершив над собой не слишком большое насилие, сделать то же и для скаляров. Нечего вводить кучу лишних букв, ещё и запоминать, что $\theta$ относится к $z$, а $\psi$ не к $x$, а к $y$. Итак:
$x(q)=\dot{x}(t_0)q + x(t_0)$
$y(q)=\dot{y}(t_0)q + y(t_0)$
$z(q)=\dot{z}(t_0)q + z(t_0)$
или $\mathbf k(q)=\mathbf{\dot{r}}(t_0) q+\mathbf r(t_0)$
Обратите внимание, что производные в первых слагаемых у меня берутся для значения параметра $t_0$, у Вас для $t$.

Второе. Вы противопоставляете векторную и параметрическую форму записи. Но векторная форма $\mathbf k(q)=\mathbf{\dot{r}}(t_0) q+\mathbf r(t_0)$ тоже параметрическая! Только векторная.

Pulseofmalstrem в сообщении #995694 писал(а):

Теперь запишем уравнение нормали, учтя, что она направлена вдоль вектора второй производной

То всё были замечания (и не все к Вам), а вот это уже ошибка. Вы под второй производной $\mathbf{\ddot r(t)}$ понимаете $\frac{d^2\mathbf r}{dt^2}$. Но этот вектор (и не только величина, но и направление!) зависит от параметризации кривой. Смотрите:
$\frac{d^2\mathbf r}{dt^2}=\frac {ds}{dt}\frac{d}{ds}\left(\frac {ds}{dt}\frac{d\mathbf r}{ds}\right)=\lambda\frac{d}{ds}\left(\lambda\frac{d\mathbf r}{ds}\right)=\lambda\left(\frac{d\lambda}{ds}\frac{d\mathbf r}{ds}+\lambda \frac{d^2\mathbf r}{ds^2}\right)$
Здесь для краткости $\lambda=\frac {ds}{dt}$.
Как видите, при изменении параметризации новая «нормаль» $\frac{d^2\mathbf r}{dt^2}$ является линейной комбинацией старой нормали $\frac{d^2\mathbf r}{ds^2}$ и касательной $\frac{d\mathbf r}{ds}$. И если $\frac{d\lambda}{ds}\neq 0$, по крайней мере одна из «нормалей» направлена под углом к кривой.

Так какая же параметризация даёт истинную нормаль?

[iifat]

svv в сообщении #995721 писал(а):

Так какая же параметризация даёт истинную нормаль?

Какой-то, по-моему, сложный и обходной путь вы выбрали, нет? Натуральная параметризация — как-то очень сложно, если вообще возможно. В википедии как-то попроще — соприкасающаяся плоскость и вектор нормали, который в ней лежит и перпендикулярен касательной. ТС, подозреваю, просто невнимательно читал учебник.

[svv]

iifat
Это я показывал не путь решения задачи. Это я продемонстрировал проблему. В том-то и дело, что не было указано, что параметр должен быть натуральным. (И обычно натуральный параметр обозначается $s$, а $t$ — произвольный параметр.) Поэтому я вправе считать, что ТС этого не требовал. Соответственно, имеем следующую проблему:

Если другой человек использует другую параметризацию (ни один из параметров не предполагается натуральным), то найденная им по методу ТС нормаль будет связана с «нашей» нормалью так-то. Вместе они нормалями, за исключением линейной замены параметра, быть не могут. Но тогда где гарантия, что именно наша собственная нормаль правильная, а не найденная другим человеком?

Т.е., уточню ещё раз, в моём сообщении не было ни длинного, ни короткого метода решения. Только критика.

[Pulseofmalstrem]

svv
Я еще раз осторожно перечитал учебник, и понял что действительно ошибся, мне кажется теперь, что правильнее будет сделать так:
Задать касательную через производную-вектор функции, задать соприкасающуюся плоскость, задать нормаль, как линию лежащую в соприкасающейся плоскости и перпендикулярную касательной (получится, что направляющий орт нашей нормали будет при скалярном умножении на направляющий вектор касательной давать ноль и при умножении на нормальный вектор соприкасающей плоскости давать ноль), а потом уже переходить к бинормали. Верно?

[svv]

Да, верно. Только... как Вы будете задавать соприкасающуюся плоскость? Наверное (помимо точки, через которую она проходит), нормалью к ней — но это и есть уже бинормаль.
Так что бинормаль естественным образом получится у Вас раньше, чем нормаль.

А бинормаль можно получить как векторное произведение касательной и «плохой нормали» (думаю, Вы меня поняли ).

[Pulseofmalstrem]

svv
Соприкасающеюся плоскость, я задам как плоскость $\pi$ к которой стремится переменная плоскость $\pi_N$, проходящая через касательную к кривой в точке $M_0$, и некую точку $M$, при $M \to M_0$

P.S. Попусту, воспроизведу прочитанное в учебнике, так как там соприкасающаяся плоскость задавалась именно так.

[svv]

Хорошо. Наверное, это и сведется в конце концов к поиску плоскости, которой параллельна как первая, так и вторая производная радиус-вектора в точке (эту вторую я назвал «плохая нормаль»).
Но так как касательная и плохая нормаль определяют ту же плоскость, что касательная и просто нормаль, их векторное произведение тоже коллинеарно бинормали.

[Pulseofmalstrem]

svv в сообщении #996029 писал(а):

Хорошо. Наверное, это и сведется в конце концов к поиску плоскости, которой параллельна как первая, так и вторая производная радиус-вектора в точке (эту вторую я назвал «плохая нормаль»).
Но так как касательная и плохая нормаль определяют ту же плоскость, что касательная и просто нормаль, их векторное произведение тоже коллинеарно бинормали.

В конечном итоге, удается показать, что нормальный вектор соприкасающейся плоскости задается векторным произведением производной первого и второго порядков (в доказательстве используется формула Тейлора с остаточным членом в виде символа o(Пеано вроде бы))

[svv]

Великолепно. Это и есть бинормаль (с точностью до коэффициента).

[Pulseofmalstrem]

svv
Ну да (это значит, что бинормаль я правильно задал), и стало быть у нас нет проблем с круговой аргументацией!

[Pulseofmalstrem]

Осмыслив допущенные ошибки, я попробовал еще раз, и вот что получилось:

0. Еще раз запишем условие задачи:
У нас есть произвольная кривая в пространстве:
$\mathbf{R}= \mathbf{r}(t)$
Запишем также и параметрический вид (чтобы потом было ясно, какие буковки что обозначают):
$\left\{ \begin{array}{rcl} &x = \varphi(t)& \\ &y = \psi(t)& \\ &z = \chi(t)& \\ \end{array} \right.$
И пусть в некоторой точке, соответствующей значению $t_0$, наша кривая имеет производные первого и второго порядков, причем не коллинеарные друг другу. Задача записать уравнения касательной, нормали, бинормали, соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей в этой точке.

1. Для начала запишем уравнение касательной, направленной по вектору $\mathbf{R}'$:
$\mathbf{t}(q)= \mathbf{r}(t_0) + q\mathbf{r'}(t_0)$, где $q$ - произвольный параметр.

2. Теперь запишем уравнение соприкасающейся плоскости; ее нормальный вектор задается векторным произведением $ \mathbf{r}'(t_0)\times\mathbf{r}''(t_0)$, что можно отдельно выписать:
$ \mathbf{r}'(t_0)\times\mathbf{r}''(t_0) = \begin{bmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \varphi '(t_0) & \psi '(t_0) & \chi '(t_0) \\ \varphi ''(t_0) & \psi ''(t_0) & \chi ''(t_0) \\ \end{bmatrix}$
Отсюда уравнение соприкасающейся плоскости выписывается:
$\begin{bmatrix} x - \varphi(t_0)& y - \psi(t_0) & z - \chi(t_0) \\ \varphi '(t_0) & \psi '(t_0) & \chi '(t_0) \\ \varphi ''(t_0) & \psi ''(t_0) & \chi ''(t_0) \\ \end{bmatrix} = 0$

3. Теперь запишем уравнение нормали.
Пусть $\mathbf{e} = \left\lbrace x_1,y_1, z_1\right\rbrace$ - ее орт, исходя из условий того что нормаль лежит в соприкасающейся плоскости и ортогональна касательной можно записать следующие уравнения, определяющие орт нормали:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &\begin{bmatrix} x_1& y_1 & z_1\\ \varphi '(t_0) & \psi '(t_0) & \chi '(t_0) \\ \varphi ''(t_0) & \psi ''(t_0) & \chi ''(t_0) \\ \end{bmatrix}= 0& \\ \\ & x_1\varphi '(t_0) + y_1\psi '(t_0) + z_1 '\chi '(t_0) = 0& \\ \\ & x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 1& \\ \end{array} \right.$$

Продолжение следует.

[iifat]

Оно, конечно же, всё так (вот только во втором уравнении лишний штрих у $z$), но больно уж в обход как-то.
Итак: у вас есть вектор (касательной) и ещё вектор (перпендикуляр соприкасающейся плоскости). Вам надо найти вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярный первому. Напишите формулу, пожалуйста.

[Pulseofmalstrem]

iifat
Кажется так. Условие: Нам даны два вектора:
$\mathbf{a} = \left\lbrace x_1; y_1; z_1\right\rbrace \\ \mathbf{b} = \left\lbrace x_2, y_2, z_2\right\rbrace $
И нам надо провести третий вектор, который был бы ортогонален вектору $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, вообще таких векторов можно много разных провести (отличных по длине), однако в общем виде представление у них будет такое($\mathbf{c}$ - искомый):
$\mathbf{с} = n[\mathbf{a} \times \mathbf{b}] = n\begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1& y_1 & z_1 \\ x_2& y_2 & z_2 \\ \end{bmatrix} = n\left\lbrace \begin{bmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{bmatrix};\begin{bmatrix} x_1& z_1 \\ x_2 & z_2 \end{bmatrix};\begin{bmatrix} x_1& y_1 \\ x_2& y_2 \\ \end{bmatrix}\right\rbrace$

P.S. Хмха, напоминает кусок векторного уравнения, не хватает только радиус-вектора какой-нибудь точки, действительно и зачем я с ортом мудрил?

[iifat]

Ну, так воспользуйтесь же этими знаниями