Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.

[AVV]

Пусть есть тетраэдр с данными произвольными сторонами. Можно ли как-то "малой кровью" получить выражения для радиусов вписанной и описанной сфер?

Для вписанной, например, ничего кроме разбиения на четыре тетраэдра с одинаковыми высотами, в голову не приходит. Такой подход упирается в нахождение высоты тетраэдра через стороны, что выглядит весьма муторно -- красивого геометрического рассуждения я не вижу.

[ИСН]

Высоты не нужны. Радиус вписанной находится через объём и площадь поверхности, а объём - через определитель Кэли-Менгера.

[svv]

Радиус описанной сферы. Заметьте, что вершины куба
$(-1,-1,-1)$
$(-1,+1,+1)$
$(+1,-1,+1)$
$(+1,+1,-1)$
находятся в вершинах тетраэдра. А $(0,0,0)$ — центр.

Радиус вписанной сферы. Возьмите прямоугольный треугольник: центр тетраэдра, центр грани, одна из вершин этой грани.

Ой, он произвольный.. Спать!

[AVV]

ИСН в сообщении #995738 писал(а):

объём - через определитель Кэли-Менгера.

Интересно, спасибо! А можно как-нибудь получить эту формулу, не просто угадывая подходящие матрицы?

[ИСН]

Ваш вопрос эквивалентен, грубо говоря, тому, можно ли получить формулу Герона, не будучи Героном. Ну да, можно, хотя довольно долго и нудно; а зачем? Вот она, готовая; пользуйтесь.

[Sender]

Можно вспомнить аналогичную формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник: $r=\frac{S}{p}$. Кроме того, есть красивая формула для радиуса описанной окружности: $R=\frac{abc}{4S}$. Интересно, нет ли в трёхмерном случае чего-нибудь подобного?

[Sender]

Нашёл следующее:

Цитата:

the radius of the sphere circumscribing a tetrahedron equals the area of the
triangle whose sides are products of the opposite edges divided by six times the volume of
the tetrahedron.

http://www2.washjeff.edu/users/mwoltermann/Dorrie/70.pdf


И упоминание истории вопроса:

[AVV]

ИСН в сообщении #995815 писал(а):

Ваш вопрос эквивалентен, грубо говоря, тому, можно ли получить формулу Герона, не будучи Героном. Ну да, можно, хотя довольно долго и нудно; а зачем?

Скорее он эквивалентен тому, можно ли посчитать площадь под параболой, не будучи Архимедом. Это можно, причём (при некоторой предварительной работе) быстрее и естественнее.

Sender, спасибо, посмотрю.

[redicka]

AVV в сообщении #995733 писал(а):

Пусть есть тетраэдр с данными произвольными сторонами. Можно ли как-то "малой кровью" получить выражения для радиусов вписанной и описанной сфер?

Для вписанной, например, ничего кроме разбиения на четыре тетраэдра с одинаковыми высотами, в голову не приходит. Такой подход упирается в нахождение высоты тетраэдра через стороны, что выглядит весьма муторно -- красивого геометрического рассуждения я не вижу.

Гораздо изяшней найти центр вписанной сферы как точку пересечения трех биссекторных плоскостей трех двугранных углов тетраэдра.

[AVV]

redicka в сообщении #996120 писал(а):

Гораздо изяшней найти центр вписанной сферы как точку пересечения трех биссекторных плоскостей трех двугранных углов тетраэдра.

Нда? Мне это всё равно представляется совершенно жутким, ничуть не более удобным.

[redicka]

Вы полагаете, что решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными - это проблема?