2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение26.03.2015, 00:51 


05/12/13
26
Пусть есть тетраэдр с данными произвольными сторонами. Можно ли как-то "малой кровью" получить выражения для радиусов вписанной и описанной сфер?

Для вписанной, например, ничего кроме разбиения на четыре тетраэдра с одинаковыми высотами, в голову не приходит. Такой подход упирается в нахождение высоты тетраэдра через стороны, что выглядит весьма муторно -- красивого геометрического рассуждения я не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение26.03.2015, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Высоты не нужны. Радиус вписанной находится через объём и площадь поверхности, а объём - через определитель Кэли-Менгера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение26.03.2015, 01:16 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Радиус описанной сферы. Заметьте, что вершины куба
$(-1,-1,-1)$
$(-1,+1,+1)$
$(+1,-1,+1)$
$(+1,+1,-1)$
находятся в вершинах тетраэдра. А $(0,0,0)$ — центр.

Радиус вписанной сферы. Возьмите прямоугольный треугольник: центр тетраэдра, центр грани, одна из вершин этой грани.

Ой, он произвольный.. Спать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение26.03.2015, 01:52 


05/12/13
26
ИСН в сообщении #995738 писал(а):
объём - через определитель Кэли-Менгера.

Интересно, спасибо! А можно как-нибудь получить эту формулу, не просто угадывая подходящие матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение26.03.2015, 10:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Ваш вопрос эквивалентен, грубо говоря, тому, можно ли получить формулу Герона, не будучи Героном. Ну да, можно, хотя довольно долго и нудно; а зачем? Вот она, готовая; пользуйтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение26.03.2015, 11:07 
Заслуженный участник


14/01/11
1696
Можно вспомнить аналогичную формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник: $r=\frac{S}{p}$. Кроме того, есть красивая формула для радиуса описанной окружности: $R=\frac{abc}{4S}$. Интересно, нет ли в трёхмерном случае чего-нибудь подобного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение26.03.2015, 13:29 
Заслуженный участник


14/01/11
1696
Нашёл следующее:
Цитата:
the radius of the sphere circumscribing a tetrahedron equals the area of the
triangle whose sides are products of the opposite edges divided by six times the volume of
the tetrahedron.

http://www2.washjeff.edu/users/mwoltermann/Dorrie/70.pdf


И упоминание истории вопроса:


Вложения:
2973351_0002.jpg
2973351_0002.jpg [ 169.06 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение26.03.2015, 18:32 


05/12/13
26
ИСН в сообщении #995815 писал(а):
Ваш вопрос эквивалентен, грубо говоря, тому, можно ли получить формулу Герона, не будучи Героном. Ну да, можно, хотя довольно долго и нудно; а зачем?

Скорее он эквивалентен тому, можно ли посчитать площадь под параболой, не будучи Архимедом. Это можно, причём (при некоторой предварительной работе) быстрее и естественнее.

Sender, спасибо, посмотрю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение26.03.2015, 20:49 


10/09/14
131
AVV в сообщении #995733 писал(а):
Пусть есть тетраэдр с данными произвольными сторонами. Можно ли как-то "малой кровью" получить выражения для радиусов вписанной и описанной сфер?

Для вписанной, например, ничего кроме разбиения на четыре тетраэдра с одинаковыми высотами, в голову не приходит. Такой подход упирается в нахождение высоты тетраэдра через стороны, что выглядит весьма муторно -- красивого геометрического рассуждения я не вижу.

Гораздо изяшней найти центр вписанной сферы как точку пересечения трех биссекторных плоскостей трех двугранных углов тетраэдра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение27.03.2015, 23:40 


05/12/13
26
redicka в сообщении #996120 писал(а):
Гораздо изяшней найти центр вписанной сферы как точку пересечения трех биссекторных плоскостей трех двугранных углов тетраэдра.

Нда? Мне это всё равно представляется совершенно жутким, ничуть не более удобным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Сообщение28.03.2015, 00:10 


10/09/14
131
Вы полагаете, что решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными - это проблема? :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group