Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
26.03.2015, 00:51
Пусть есть тетраэдр с данными произвольными сторонами. Можно ли как-то "малой кровью" получить выражения для радиусов вписанной и описанной сфер?
Для вписанной, например, ничего кроме разбиения на четыре тетраэдра с одинаковыми высотами, в голову не приходит. Такой подход упирается в нахождение высоты тетраэдра через стороны, что выглядит весьма муторно -- красивого геометрического рассуждения я не вижу.
ИСН
Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
26.03.2015, 01:10
Высоты не нужны. Радиус вписанной находится через объём и площадь поверхности, а объём - через определитель Кэли-Менгера.
svv
Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
26.03.2015, 01:16
Последний раз редактировалось svv 26.03.2015, 01:22, всего редактировалось 1 раз.
Радиус описанной сферы. Заметьте, что вершины куба находятся в вершинах тетраэдра. А — центр.
Радиус вписанной сферы. Возьмите прямоугольный треугольник: центр тетраэдра, центр грани, одна из вершин этой грани.
Ой, он произвольный.. Спать!
AVV
Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Интересно, спасибо! А можно как-нибудь получить эту формулу, не просто угадывая подходящие матрицы?
ИСН
Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
26.03.2015, 10:05
Ваш вопрос эквивалентен, грубо говоря, тому, можно ли получить формулу Герона, не будучи Героном. Ну да, можно, хотя довольно долго и нудно; а зачем? Вот она, готовая; пользуйтесь.
Sender
Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
26.03.2015, 11:07
Можно вспомнить аналогичную формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник: . Кроме того, есть красивая формула для радиуса описанной окружности: . Интересно, нет ли в трёхмерном случае чего-нибудь подобного?
Sender
Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
26.03.2015, 13:29
Нашёл следующее:
Цитата:
the radius of the sphere circumscribing a tetrahedron equals the area of the triangle whose sides are products of the opposite edges divided by six times the volume of the tetrahedron.
Ваш вопрос эквивалентен, грубо говоря, тому, можно ли получить формулу Герона, не будучи Героном. Ну да, можно, хотя довольно долго и нудно; а зачем?
Скорее он эквивалентен тому, можно ли посчитать площадь под параболой, не будучи Архимедом. Это можно, причём (при некоторой предварительной работе) быстрее и естественнее.
Sender, спасибо, посмотрю.
redicka
Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.
Пусть есть тетраэдр с данными произвольными сторонами. Можно ли как-то "малой кровью" получить выражения для радиусов вписанной и описанной сфер?
Для вписанной, например, ничего кроме разбиения на четыре тетраэдра с одинаковыми высотами, в голову не приходит. Такой подход упирается в нахождение высоты тетраэдра через стороны, что выглядит весьма муторно -- красивого геометрического рассуждения я не вижу.
Гораздо изяшней найти центр вписанной сферы как точку пересечения трех биссекторных плоскостей трех двугранных углов тетраэдра.
AVV
Re: Сферы вписанная в тетраэдр и описанная вокруг него.