Верны ли утверждения об окружностях?

[Usgl]

1. В пространстве R5 совокупность всех возможных окружностей единичного радиуса с центром в начале координат, образуют 4-сферу в этом пятимерном пространстве.

2. Любую окружность на этой 4-сфере можно перевести в любую другую сделав четыре последовательных поворота плоскости этой окружности.

3. Расстояние между любыми такими окружностями на такой 4-сфере, есть расстояние между двумя определенными точками на этих окружностях, и может быть найдено по теореме Пифагора.

[ИСН]

По 2 у меня сильное подозрение, что достаточно одного поворота.
А 3 - верно для любых фигур где угодно (не обязательно концентрических, не обязательно окружностей), и потому бесполезно.

[VanD]

ИСН в сообщении #994959 писал(а):

А 3 - верно для любых фигур где угодно (не обязательно концентрических, не обязательно окружностей), и потому бесполезно.

А как же штучки типа расстояния между двумя гиперболами на плоскости, не пересекающимися, но с общей асимптотой? Всё таки некоторые ограничения есть.

[ИСН]

Ладно: любых конечных и замкнутых.

[ET]

ИСН в сообщении #994959 писал(а):

По 2 у меня сильное подозрение, что достаточно одного поворота.

Возможно, вопрос в том, что считать поворотом?
Но все равно, даже в определении с самыми строгими ограничениями, даже в $R^{1000}$ 4х не вижу. 2х должно быть достаточно

[Evgenjy]

ET в сообщении #996262 писал(а):

2х должно быть достаточно

Два (а значит и миллион) последовательных поворота относительно одной точи есть поворот. Поэтому

ИСН в сообщении #994959 писал(а):

достаточно одного поворота

[ewert]

Не одного, а вот именно двух (в общем случае). Поскольку подразумеваются они, естественно, плоскими, а производятся фактически в четырёхмерном пространстве.

Возможно, составитель задачки имел в виду повороты в только координатных плоскостях, т.е. использование только матриц Гивенса, и ожидал ответа типа "нет, четырёх недостаточно, нужно шесть". Трудно сказать; нехваткой косноязычия он никак не страдает. Вот даже и в 1-м пункте не совсем всё слава богу: не "совокупность", а объединение.

[ET]

Evgenjy в сообщении #996309 писал(а):

ET в сообщении #996262 писал(а):

2х должно быть достаточно

Два (а значит и миллион) последовательных поворота относительно одной точки есть поворот.

В выделенном мной фрагменте - ваше допущение. поворот (в данном случае) может быть и вокруг прямой, обязательно лежащей на этой плоскости. Тогда вроде как одним не всегда можно обойтись

[Hasek]

Мысли по второму пункту.
Понятно, что все эти окружности равны, то есть могут быть переведены друг в друга движением. А любое движение $n$-мерного пространства может быть представлено в виде не более чем ($n+1$)-й симметрии относительно гиперплоскостей (есть такая не очень сложная теорема). Тогда имеем как максимум не более пяти поворотов.

[ewert]

Hasek в сообщении #996347 писал(а):

симметрии относительно гиперплоскостей (есть такая не очень сложная теорема). Тогда имеем как максимум не более пяти поворотов.

"Симметрия относительно гиперплоскости" -- это не поворот.

[Hasek]

ewert в сообщении #996349 писал(а):

Hasek в сообщении #996347 писал(а):

симметрии относительно гиперплоскостей (есть такая не очень сложная теорема). Тогда имеем как максимум не более пяти поворотов.

"Симметрия относительно гиперплоскости" -- это не поворот.

Разве на плоскости, например, поворот вокруг оси не представляется композицией двух зеркальных симметрий относительно прямых?

[ewert]

Hasek в сообщении #996351 писал(а):

Разве на плоскости, например, поворот вокруг оси не представляется композицией двух зеркальных симметрий относительно прямых?

Представляется. Но Вы ведь отражения и повороты зачем-то отождествили. И кстати уж: почему $(n+1)$?

А, понял. Не обратил внимания на слово "движение", тогда действительно плюс один. А не обратил потому, что оно неуместно: здесь ведь линейное пространство, а не аффинное.