азы функ.анализа (метрика, множества, пространство)

[UriY]

День добрый!
Пытаюсь разобраться с сабжем - нужна помощь...
1. Теория: пространство $l_p$, его элементы - последовательности $x=(x_1, ... , x_k, ...)$ и ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lvert x_k \right\lvert ^p$ сходится. Норма этого пространства $\left\lVert x \right\lVert_p=(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left\lvert x_k \right\lvert ^p) ^{1/p} $

на практике, можно ли элементами пространства $l_1$ считать числа 1,2,3,... или только последовательности, вычисляемые по формуле $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lvert x_k \right\lvert ^1$, т.е. набор (1, 3, 6, 10, ...)
а если мы рассматриваем пространство $l_2$ , то имеем формулу для каждого члена $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lvert x_k \right\lvert ^2$, т.е. $x=(1, 9, 36, 100, ...)$
и поэтому при расчете нормы этого пространства (т.е. "расстояния" между его элементами) мы будем принимать во внимание в качестве элементов описанные выше рассуждения, т.е. элементы множества - только последовательности? и как быть, если мы рассматриваем элементы $x=(x_1,x_2,...x_k,...)$ и $y=(y_1,y_2,...y_k,...)$ - они по идее должны быть разными ($x \neq y$), а это противоречит рассуждениям, что элементы вычисляются по конкретной формуле $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left\lvert x_k \right\lvert ^p$ - нужна помощь ))

2. для проверки является ли $p_1(x,y)$ метрикой данного множества нужно выполнить проверку на удовлетворение аксиомам (неотрицательность, симметрия и аксиома треугольника)

как это проверяется на практике?
например, имеем $l_1$ и нужно проверить $p_1(x,y)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\left\lvert x_k - y_k \right\lvert}{a*k^2+b*k+c}$, где a,b,c - константы
по идее, т.к. в знаменателе у нас параболическая функция $a*k^2+b*k+c$, то при разных значениях $k$ она принимает одно и тоже значение, т.е. может возникнуть ситуация, когда аксиома треугольника не выполняется, но мы имеем дело с суммой, поэтому как это доказать????

3. как на практике сравнивать метрики? в инете не нашел нормальных разобранных примеров... как например сравнить $(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left\lvert x_k \right\lvert ^p) ^{1/p}$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\left\lvert x_k - y_k \right\lvert}{a*k^2+b*k+c}$

ps понимаю, что для многих мои вопросы могут показаться дилетантскими, но прошу помочь разобраться, т.к. спросить у преподов нет возможности - учат дистанционно (т.е. дают теорию без разбора примеров и сразу дают задачи.... а в инете не нашел подробных разъяснений примеров по этой теме...)

заранее спасибо

[Brukvalub]

UriY в сообщении #994619 писал(а):

День добрый!
1. Теория: пространство $l_p$, его элементы - последовательности $x=(x_1, ... , x_k, ...)$ и ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lvert x_k \right\lvert ^p$ сходится. Норма этого пространства $\left\lVert x \right\lVert_p=(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left\lvert x_k \right\lvert ^p) ^{1/p} $

на практике, можно ли элементами пространства $l_1$ считать числа 1,2,3,... или только последовательности, вычисляемые по формуле $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lvert x_k \right\lvert ^1$, т.е. набор (1, 3, 6, 10, ...)
...

На практике: вы, ЧТО, последовательности от чисел отличить не в силах????
Зачем тогда вам вся эта премудрость?

[svv]

UriY
Вы что, подумали, что это $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lvert x_k \right\lvert ^2$ — формула, определяющая, из каких чисел должна состоять последовательность?

Это настолько неправильно, что даже страшно сказать.

$\ell_2$ содержит любые последовательности, например: первый элемент $5.57492032$, второй $(-16)$, третий $\pi^2$, четвертый ... Единственное условие — чтобы указанный ряд сходился.

[UriY]

Brukvalub в сообщении #994625 писал(а):

UriY в сообщении #994619 писал(а):

День добрый!
1. Теория: пространство $l_p$, его элементы - последовательности $x=(x_1, ... , x_k, ...)$ и ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lvert x_k \right\lvert ^p$ сходится. Норма этого пространства $\left\lVert x \right\lVert_p=(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left\lvert x_k \right\lvert ^p) ^{1/p} $

на практике, можно ли элементами пространства $l_1$ считать числа 1,2,3,... или только последовательности, вычисляемые по формуле $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lvert x_k \right\lvert ^1$, т.е. набор (1, 3, 6, 10, ...)
...

На практике: вы, ЧТО, последовательности от чисел отличить не в силах????
Зачем тогда вам вся эта премудрость?

Может я немного неправильно выразился (по поводу чисел и последовательностей), но можете привести примеры пространств $l_1$ и $l_2$? хотя бы для к=1..5

[Brukvalub]

UriY в сообщении #994706 писал(а):

...
Может я немного неправильно выразился (по поводу чисел и последовательностей), но можете привести примеры пространств $l_1$ и $l_2$? хотя бы для к=1..5

Вы сами-то понимаете то, о чем спрашиваете? Вот вы можете привести примеры озера Байкал и пирамиды Хеопса, "хотя бы для к=1..5"?

[svv]

Может, Вам такие слова помогут. Пространство $\ell_2$ содержит бесконечное, непостижимо огромное множество последовательностей. Всевозможных последовательностей (с единственным ограничением, о котором я говорил). И каждая из последовательностей содержит бесконечное (счетное) множество элементов.

UriY в сообщении #994706 писал(а):

Может я немного неправильно выразился

Всё скорее станет на места, если Вы поймёте, что ошибаетесь очень сильно. Картина совсем другая.

[Henrylee]

UriY в сообщении #994706 писал(а):

Может я немного неправильно выразился (по поводу чисел и последовательностей), но можете привести примеры пространств $l_1$ и $l_2$? хотя бы для к=1..5

Вот Вам пример одной точки из пространства $l_2$:

$$ 1,\frac12,\frac13,\dots,\frac1n,\dots $$

Она оттуда (эта точка, или, что то же самое, последовательность), потому что

$$ \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac1n\right)^2<\infty. $$

А в пространстве $l_1$ эта точка не лежит, потому что

$$ \sum\limits_{n=1}^\infty\left|\frac1n\right|=+\infty $$

[mark_sandman]

У меня вопрос по той же теме. Как проверить неравенство треугольника для евклидовой нормы в пространстве ? Если в последовательности конечное множество элементов, то неравенство треугольника следует из неравенства Коши-Буняковского. Но как быть, когда число членов бесконечно? Можно ли здесь воспользоваться предельным переходом в неравенстве и сказать, что раз неравенство выполняется для любого сколь угодно большого n и все ряды сходятся, то неравенство выполнено и для бесконечного числа слагаемых?

[Dan B-Yallay]

mark_sandman в сообщении #995130 писал(а):

У меня вопрос по той же теме. Как проверить неравенство треугольника для евклидовой нормы в пространстве ? Если в последовательности конечное множество элементов, то неравенство треугольника следует из неравенства Коши-Буняковского. Но как быть, когда число членов бесконечно? Можно ли здесь воспользоваться предельным переходом в неравенстве и сказать, что раз неравенство выполняется для любого сколь угодно большого n и все ряды сходятся, то неравенство выполнено и для бесконечного числа слагаемых?

А чем таким особенным отличается бесконечный случай от конечномерного?

[mark_sandman]

Dan B-Yallay
В принципе, если ввести в аналогии с конечным случаем в бесконечномерном пространстве скалярное произведение и воспользоваться неравенством Коши-Буняковского, то отличий почти нет. Только что это понял. Я прав?

[Brukvalub]

Вы правы.

[ewert]

mark_sandman в сообщении #995145 писал(а):

если ввести в аналогии с конечным случаем в бесконечномерном пространстве скалярное произведение и воспользоваться неравенством Коши-Буняковского, то отличий почти нет.

Отличий не почти, а просто нет: неравенство Коши-Буняковского следует только из аксиом скалярного произведения и ни из чего больше. Предельный же переход нужен не здесь, а лишь в самом начале: нужно доказать, что для элементов из $l_2$ скалярное произведение вообще имеет смысл, т.е. что соответствующий ряд сходится.

[UriY]

Спасибо, что помогли разобраться
отдельное спасибо - Henrylee ))

Но нужна еще Ваша помощь.
Вот что я нашел в пространстве инета:
Теорема Рисса: В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны

Из википедии:

Цитата:

Конечномерное пространство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Следует ли, что если в конечномерном пространстве есть метрика, то значит в нем автоматически введено скалярное произведение его элементов? И эта метрика (норма) как раз и есть это скалярное произведение?

Здесь пример 1.5:

т.е. любое пространство l_p является векторным и если у него есть метрика, то оно становится конечномерным, а следовательно, любые его метрики эквиваленты???

[ewert]

UriY в сообщении #1000804 писал(а):

любое пространство l_p является векторным

Любое. Т.е. каждое из одного.

UriY в сообщении #1000804 писал(а):

если у него есть метрика, то оно становится конечномерным,

Эти две вещи никак между собой не связаны.

UriY в сообщении #1000804 писал(а):

Следует ли, что если в конечномерном пространстве есть метрика, то значит в нем автоматически введено скалярное произведение его элементов? И эта метрика (норма) как раз и есть это скалярное произведение?

А почему бы Вам не прочитать свою же цитату? Там сказано, что скалярное произведение или норма порождают метрику (на самом деле ещё и скалярное произведение порождает норму). Насчёт наоборот там не сказано ровным счётом ничего. И с какой стати наоборот-то?...

[мат-ламер]

UriY в сообщении #1000804 писал(а):

Следует ли, что если в конечномерном пространстве есть метрика, то значит в нем автоматически введено скалярное произведение его элементов? И эта метрика (норма) как раз и есть это скалярное произведение?
т.е. любое пространство l_p является векторным и если у него есть метрика, то оно становится конечномерным,

В функциональном анализе надо представлять себе, что откуда вытекает. По цитируемым фразам чувствуется, что у вас тут полной ясности ещё нет. Если желаете, можно сделать разбор написаного, но лучше почитать сначала учебник.