chain fontain

[Oleg Zubelevich]

Эффект и невразумительное объяснение здесь: http://www.youtube.com/watch?v=-eEi7fO0_O0


Промоделируем процесс следующей системой.



Будем считать, что однородная цепь плотности $\rho>0$ переливаетсся из кучи $A$ в кучу $D$, которая расположена ниже кучи $A$ на расстояние $h$. Под действием идеаальной связи цепь описывает фигуру, состоящую из двух вертикальных кусков $AB$ и $CD$ и полуокружности $BC$ заданного радиуса $r$. Высота центра $E$ полуокружности при этом может меняться в процессе движения. Если угодно, кусок цепочки $BC$ помещен в гладкую трубку в форме полуокружности, которая может свободно поступательно и без трения скользить вдоль оси $OY$.
Получилась система с двумя степенями свободы. За обобщенные координаты можно принять $y$ -- высота точки $E$ над осью $OX$, и $s$ -- длина цепочки, находящейся в куче $D$.

В системе действуют две активные силы $\overline F_A=-\lambda\rho |\overline v_B|^2\overline e_y$ -- это сила, которая препятствует разгону звеньев цепи, выходящих из кучи $A$ и $\overline F_D=\lambda\rho |\overline v_C|^2\overline e_y$ -- сила, которая тормозит цепь при входе в кучу $D$. $\lambda>0$ -- заданный коэффициент, зависящий от цепочки. Разумеется вид и происхождение этих сил требуют отдельного объяснения.

При $\lambda<1/2$ и $(1-2\lambda)h>2\lambda r\pi$ дифференциальные уравнения движения допускают следующее стационарное решение

$$\dot s(t)=\sqrt{\frac{gh}{2\lambda}},\quad y(t)=\frac{(1-2\lambda)h-2\lambda r\pi}{4\lambda}.$$

Это движение соответсствует стоячей петле в эксперименте.

[Xey]

"Сила, которая тормозит цепь при входе в кучу D" (и казалось бы уже ни на что не влияет) это и есть тот импульс, который поддерживает в воздухе всю растянутую часть цепи?

Если закрыть чёрным ящиком всю растянутую часть цепочки, то увидим, что слева в него загружаются неподвижные звенья цепи, а справа звенья вылетают со скоростью движения цепи и создают импульс отдачи. Этот импульс и держит чёрный ящик в воздухе.
В движение цепочку приводит свисающяя справа , неуравновешенная часть цепи.

[Oleg Zubelevich]

говоря неформально, в воздухе держит центробежная сила, возникающая в дуге окружности, а силы в $F_A,F_D$ оказывают стабилизирующее действие

[Xey]

Oleg Zubelevich в сообщении #994323 писал(а):

говоря неформально, в воздухе держит центробежная сила, возникающая в дуге окружности, а силы в $F_A,F_D$ оказывают стабилизирующее действие

Так рассуждать опасно, так можно какой-нибудь инерцоид изобрести.
По-моему с чёрным ящиком все правильно. Отбрасывается масса в виде звеньев цепи и она обеспечивает силу реакции. То , что звенья не улетают далеко , а складываются в кучку в точке D не меняет сути реактивного движения.

[Oleg Zubelevich]

если силы $F_A,F_D$ положить равными нулю, то в соответствие с уравнениями петля улетит вверх, далеко, далеко

-- Пн мар 23, 2015 01:21:32 --

это и из формул видно, которые выше написаны при $\lambda\to 0$

[Xey]

$ F_D $ можно обнулить, убрав правую полочку. Движение цепи будет ускоряться и перегиб будет подниматься.

Если убрать левую и правую полочки, то неподвижная цепочка будет падать вместе с изгибом. Но если её резко дернуть, то изгиб перестанет падать. Что-то подобное можно видеть у кнута.

[Munin]

Oleg Zubelevich
Вы не темните, а объясните возникновение сил и формул для них (я немного догадываюсь, но лучше, если это будет произнесено вами и явно).

[Oleg Zubelevich]

The main thing to understand is which force brakes links at the enter to the pile $D$ and which force arises when new links come to a motion from the pile $A$. Denote these forces by $\mathbf{F}_D$ and $\mathbf{F}_A$ respectively.

To understand these forces consider a model example see Fig2.

Assume for a wile the chain has infinitely small links, in other words, the chain is an absolutely flexible string.

The force $\mathbf{R}$ draws the chain by its tip $B$ from the pile $A$, see Fig.
Due to the equations of variable mass systems \cite{Yz}, we have

$$ \frac{d}{dt}\Big(\rho y \dot y\Big)=R-y\rho g.\qquad (*)$$

Applying the energy balance equation to the whole chain one has

$$ \frac{d}{dt}\Big(T+V\Big)=F\dot y+R\dot y,\quad T=\frac{1}{2}\rho y\dot y^2,\quad V=\frac{1}{2}\rho gy^2,\qquad (**)$$

here $F$ is the force to find.
From equations (*) and (**) it follows that

$$F=-\frac{1}{2}\rho\dot y^2.$$

The analogous formula holds true for the case when the chain falls to the pile.

Now let us return to our main system. In accordance with the observation above, we propose the following hypothesis

$$\mathbf{F}_D=\lambda\rho |\mathbf{v}_C|^2\mathbf{e}_y, \quad\mathbf{F}_A=-\lambda\rho |\mathbf{v}_B|^2\mathbf{e}_y.$$

All links of the segment $AB$ have the same velocity $\mathbf{v}_B$; and all the links of segment $CD$ have the same velocity $\mathbf{v}_C$.

The parameter $\lambda>0$ characterises the chain; in case of absolutely flexible, inextensible and thin string one has $\lambda =1/2.$

[Munin]

Ну, значит, речь не о том.

И вот этот пункт, увы, вызывает сомнения:

Oleg Zubelevich в сообщении #994390 писал(а):

The analogous formula holds true for the case when the chain falls to the pile.

Дело в том, что для обратного случая верно только $\dfrac{d}{dt}\Big(T+V\Big)\leqslant\ldots,$ а не $\dfrac{d}{dt}\Big(T+V\Big)=\ldots,$ и в результате $F=0$ не противоречит этому энергетическому уравнению, и однозначно следует из механического условия свободной сжимаемости нити (цепи). Детально, когда концевое звено падающего участка цепи тормозится, то оно при этом отцепляется от следующих за ним звеньев, а не давит на них и не подтормаживает.

Увы, это разбивает ваши выкладки в стартовом сообщении post991227.html#p991227 вдребезги. Цепь (как свободную по вертикали систему) не поддерживает никакая сила вверх, а только тянет одна сила вниз.

У меня была другая гипотеза.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #994583 писал(а):

Дело в том, что для обратного случая верно только $\dfrac{d}{dt}\Big(T+V\Big)\leqslant\ldots,$ а не $\dfrac{d}{dt}\Big(T+V\Big)=\ldots,$

Дело в том, что есть теорема о том, что производная кинетической энергии системы равна суммарной мощности всех активных сил, действующих в этой системе.

Munin в сообщении #994583 писал(а):

Увы, это разбивает ваши выкладки

увы, не разбивает

-- Пн мар 23, 2015 18:14:06 --

Munin в сообщении #994583 писал(а):

и в результате $F=0$ не противоречит этому энергетическому уравнению,

еще и другие уравнения есть, которым это противоречит

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #994608 писал(а):

Дело в том, что есть теорема

А ещё есть область применимости этой теоремы.

Не огласите ли условия применимости этой теоремы при наличии освобождающих связей?

-- 23.03.2015 18:35:45 --

Фактически, рассмотрим систему, состоящую из верхних $(n-1)$ звеньев и одного нижнего звена. Для неё теорема будет верна. Но сила $F,$ вычисленная по этой теореме, будет действовать на одно нижнее звено, тормозя его. И эта сила не сможет быть передана на верхнюю часть цепи. Для верхней части цепи всё будет так же, как будто было бы $F=0.$

[Oleg Zubelevich]

ну я сейчас приведу доказательство, а вы можете его принять, а можете не принимать -- это как вам угодно.

Картинка такая же как в post994390.html#p994390 , только вертикальный хвост цепи отпустили и он падает в кучу под действием силы тяжести. Пишем теорему об изменении энергии для всей цепи, включая кучу:

$$\frac{d}{dt}(T+V)=F\dot y,\qquad (*)$$

$T,V,y$ -- те же, что и в post994390.html#p994390 . силу $F$ можете пока считать равной чему хотите, хоть нулю.
Теперь пишем урвнение движения системы переменного состава для вертикальноого хвоста цепи

$$\frac{d}{dt}(\rho y\dot y)=-y\rho g+\rho \dot y^2\qquad (**)$$

уравнения (*) и (**) дают $F=\rho \dot y^2/2$

[Xey]

Oleg Zubelevich в сообщении #994323 писал(а):

говоря неформально, в воздухе держит центробежная сила, возникающая в дуге окружности, а силы в $F_A,F_D$ оказывают стабилизирующее действие

Правильнее было бы сказать, что работает центростремительная сила. Действуя некоторое время на звено цепочки она меняет направление его движения .
Эта центростремительная сила образуется из силы натяжения, если меняется направление движения натянутой цепочки.
В первые моменты цепочка движется горизонтально через край банки, а потом вниз.
С ростом скорости радиус поворота стремится увеличиться, а его центр вроде бы остается на прежнем месте. Поэтому новое звено начинает движение не налево, а вверх.

[Oleg Zubelevich]

Xey в сообщении #994683 писал(а):

Правильнее было бы сказать, что работает центростремительная сила.

О том как правильнее сказать, я точно спорить не буду. Для меня важно было правильно написать формулы, что бы получилась модель, воспроизводящая эффект.

Xey в сообщении #994683 писал(а):

С ростом скорости радиус поворота стремится увеличиться, а его центр вроде бы остается на прежнем месте. Поэтому новое звено начинает движение не налево, а вверх.

О, прекрасно, теперь можете модель с тремя степенями свободы рассмотреть

[Oleg Zubelevich]

вывод уравнений движения

http://arxiv-web3.library.cornell.edu/p ... 6663v2.pdf