Несмещенная оценка (теория вероятностей)

[ShMaxG]

MestnyBomzh в сообщении #994423 писал(а):

Оценка $\hat{a}$ является состоятельной оценкой параметра $a$, если $\forall \varepsilon >0 \lim\limits_{n \to +\infty}P(| \theta_n - \theta| > \varepsilon) = 0$

Неправильное определение. Почему у вас все буквы разные? То $\theta_n$, то $\hat a$, вы уж определитесь с обозначениями.

-- Пн мар 23, 2015 13:07:28 --

MestnyBomzh в сообщении #994423 писал(а):

Что нам здесь использовать в качестве $\theta_n $? Я так понимаю, что значения, которые может принимать выборка.

Неправильно понимаете. Внимательно читайте определения в учебниках/книжках.

[MestnyBomzh]

Хм.
А это верно:
Оценка состоятельна, если:
$M[\hat \theta & _n - \theta ]\mathop \to \limits_{n \to \infty } 0$
и

$D[\hat \theta & _n ]\mathop \to \limits_{n \to \infty } 0$

[ShMaxG]

Не перескакивайте, сосредоточьтесь лучше. Поправьте вот эту фразу, чтобы стала правильной:

MestnyBomzh в сообщении #994423 писал(а):

Оценка $\hat{a}$ является состоятельной оценкой параметра $a$, если $\forall \varepsilon >0 \lim\limits_{n \to +\infty}P(| \theta_n - \theta| > \varepsilon) = 0$

Вы понимаете, что такое $\theta_n$? Она отличается от $\hat a$? А $\theta$ что такое? А что такое $a$?

[MestnyBomzh]

Я просто переписал определение, не заменив на терминологию нынешней задачи: $\hat{a}$ является состоятельной оценкой параметра $a$, если $\forall \varepsilon >0 \lim\limits_{n \to +\infty}P(| \hat{a} - a| > \varepsilon) = 0$

[ShMaxG]

Так-то лучше, теперь правильно. Состоятельность в нашем случае, это сходимость $\hat a \to a$ по вероятности. Так как $a$ - число, то эта сходимость равносильна сходимости $\hat a \to a$ по распределению. Что значит сходимость по распределению? Чему равна функция распределения $\hat a$? Чему равна функция распределения числа $a$ как случайной величины, принимающей единственное значение?

[MestnyBomzh]

$F_{\hat{a}} (x) = 1-e^{n(a-x)} , F_a (x) = a$, так?

[ShMaxG]

MestnyBomzh в сообщении #994485 писал(а):

$F_{\hat{a}} (x) = 1-e^{n(a-x)} , F_a (x) = a$, так?

Почти. Укажите значения функций $F_{\hat{a}} (x)$ и $F_a (x)$ для всех иксов. Плюс к этому, ни в каких иксах не выполнено равенство $F_a (x) = a$.

[MestnyBomzh]

$$F_{\hat{a}} (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1-e^{n(a-x)} , x \geq a \\ 0, x \leq a \\ \end{array} \right.$$

$$F_{a} (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 , x \geq a \\ 0, x \leq a \\ \end{array} \right.$$

[ShMaxG]

Хорошо. Теперь напишите, что значит сходимость $\hat a \to a$ по распределению? Выполнена ли она в нашем случае?

[MestnyBomzh]

Определение сходимости по распределению:
$F_{\hat{a}} (x) \to F_{a} (x), n \to +\infty$
В данном случае:

$$F_{\hat{a}} (x) \to F_{q} (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} - \infty , x \geq a \\ 0, x \leq a \\ \end{array} \right.$$

-- 23.03.2015, 15:41 --

Меня эта бесконечность смущает

[ShMaxG]

MestnyBomzh в сообщении #994496 писал(а):

Определение сходимости по распределению:
$F_{\hat{a}} (x) \to F_{a} (x), n \to +\infty$

Это не полное определение, потому что не сказано, в каких именно иксах имеет место сходимость. Во всех? Или в некоторых? В каких?

MestnyBomzh в сообщении #994496 писал(а):

В данном случае:

$$F_{\hat{a}} (x) \to F_{q} (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} - \infty , x \geq a \\ 0, x \leq a \\ \end{array} \right.$$

Ошиблись при вычислении предела.

[MestnyBomzh]

ShMaxG в сообщении #994500 писал(а):

Во всех? Или в некоторых? В каких?

Для тех, в которых функция распределения непрерывна?
Да, я снова ошибся в пределе. Поправлюсь:

$$F_{\hat{a}} (x) \to F_{q} (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1, x \geq a \\ 0, x \leq a \\ \end{array} \right.$$

[ShMaxG]

MestnyBomzh в сообщении #994503 писал(а):

Для тех, в которых функция распределения непрерывна?

Для тех, в которых функция $F_a (x)$ непрерывна. Именно та функция, к которой проверяется сходимость. Она разрывная лишь в одной точке, $x=a$. Вот в ней сходимость проверять не нужно, а в остальных точках нужно.

MestnyBomzh в сообщении #994503 писал(а):

Поправлюсь:

$$F_{\hat{a}} (x) \to F_{q} (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1, x \geq a \\ 0, x \leq a \\ \end{array} \right.$$

Ну да, только нужно писать аккуратнее:

$$F_{\hat{a}} (x) \to F_{a} (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1, x > a \\ 0, x < a \\ \end{array} \right.$$

[MestnyBomzh]

Любопытно. Получается, это оценка состоятельная, но несмещенная?

-- 23.03.2015, 16:00 --

Любопытно. Получается, это оценка состоятельная, но несмещенная?

[ShMaxG]

MestnyBomzh в сообщении #994509 писал(а):

Любопытно. Получается, это оценка состоятельная, но несмещенная?

Да. Но она не просто несмещенная, она асимптотически несмещенная. Т.е. $\mathbf{E}\hat a \to a$ при $n \to \infty$.

Состоятельность можно было доказывать и другим способом. Если выполнено $\mathbf{E}\hat a \to a$ и $\mathbf{D}\hat a \to 0$ при $n \to \infty$, то оценка $\hat a$ состоятельная. Это следует из неравенства Чебышева. В этом случае нужно было бы вычислить дисперсию оценки $\mathbf{D}\hat a$, в нашем случае это не сложно, но все же проще работать с функциями распределения. Когда оценка представляет собой какие-то суммы от элементов выборки $X_i$, то бывает проще вычислять математическое ожидание и дисперсию. А когда минимумы/максимумы, то проще все-таки работать с функциями распределения.