2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 13:05 
Аватара пользователя
MestnyBomzh в сообщении #994423 писал(а):
Оценка $\hat{a}$ является состоятельной оценкой параметра $a$, если $\forall \varepsilon >0 \lim\limits_{n \to +\infty}P(| \theta_n - \theta| > \varepsilon) = 0$

Неправильное определение. Почему у вас все буквы разные? То $\theta_n$, то $\hat a$, вы уж определитесь с обозначениями.

-- Пн мар 23, 2015 13:07:28 --

MestnyBomzh в сообщении #994423 писал(а):
Что нам здесь использовать в качестве $\theta_n $? Я так понимаю, что значения, которые может принимать выборка.

Неправильно понимаете. Внимательно читайте определения в учебниках/книжках.

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:00 
Аватара пользователя
Хм.
А это верно:
Оценка состоятельна, если:
$M[\hat \theta  & _n  - \theta ]\mathop  \to \limits_{n \to \infty } 0$
и

$D[\hat \theta  & _n ]\mathop  \to \limits_{n \to \infty } 0$

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:10 
Аватара пользователя
Не перескакивайте, сосредоточьтесь лучше. Поправьте вот эту фразу, чтобы стала правильной:
MestnyBomzh в сообщении #994423 писал(а):
Оценка $\hat{a}$ является состоятельной оценкой параметра $a$, если $\forall \varepsilon >0 \lim\limits_{n \to +\infty}P(| \theta_n - \theta| > \varepsilon) = 0$

Вы понимаете, что такое $\theta_n$? Она отличается от $\hat a$? А $\theta$ что такое? А что такое $a$?

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:13 
Аватара пользователя
Я просто переписал определение, не заменив на терминологию нынешней задачи: $\hat{a}$ является состоятельной оценкой параметра $a$, если $\forall \varepsilon >0 \lim\limits_{n \to +\infty}P(| \hat{a} - a| > \varepsilon) = 0$

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:16 
Аватара пользователя
Так-то лучше, теперь правильно. Состоятельность в нашем случае, это сходимость $\hat a \to a$ по вероятности. Так как $a$ - число, то эта сходимость равносильна сходимости $\hat a \to a$ по распределению. Что значит сходимость по распределению? Чему равна функция распределения $\hat a$? Чему равна функция распределения числа $a$ как случайной величины, принимающей единственное значение?

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:27 
Аватара пользователя
$F_{\hat{a}} (x) = 1-e^{n(a-x)} , F_a (x) = a$, так?

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:31 
Аватара пользователя
MestnyBomzh в сообщении #994485 писал(а):
$F_{\hat{a}} (x) = 1-e^{n(a-x)} , F_a (x) = a$, так?

Почти. Укажите значения функций $F_{\hat{a}} (x)$ и $F_a (x)$ для всех иксов. Плюс к этому, ни в каких иксах не выполнено равенство $F_a (x) = a$.

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:34 
Аватара пользователя
$$F_{\hat{a}} (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
   1-e^{n(a-x)} , x \geq a \\
  0, x \leq a \\
\end{array}
\right.$$
$$F_{a} (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
   1 , x \geq a \\
  0, x \leq a \\
\end{array}
\right.$$

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:35 
Аватара пользователя
Хорошо. Теперь напишите, что значит сходимость $\hat a \to a$ по распределению? Выполнена ли она в нашем случае?

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:39 
Аватара пользователя
Определение сходимости по распределению:
$F_{\hat{a}} (x) \to F_{a} (x), n \to +\infty$
В данном случае: $$F_{\hat{a}} (x)  \to F_{q} (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
   - \infty , x \geq a \\
  0, x \leq a \\
\end{array}
\right.$$

-- 23.03.2015, 15:41 --

Меня эта бесконечность смущает

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:43 
Аватара пользователя
MestnyBomzh в сообщении #994496 писал(а):
Определение сходимости по распределению:
$F_{\hat{a}} (x) \to F_{a} (x), n \to +\infty$

Это не полное определение, потому что не сказано, в каких именно иксах имеет место сходимость. Во всех? Или в некоторых? В каких?

MestnyBomzh в сообщении #994496 писал(а):
В данном случае: $$F_{\hat{a}} (x)  \to F_{q} (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
  - \infty , x \geq a \\
 0, x \leq a \\
\end{array}
\right.$$

Ошиблись при вычислении предела.

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:47 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #994500 писал(а):
Во всех? Или в некоторых? В каких?

Для тех, в которых функция распределения непрерывна?
Да, я снова ошибся в пределе. Поправлюсь:
$$F_{\hat{a}} (x)  \to F_{q} (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
   1, x \geq a \\
  0, x \leq a \\
\end{array}
\right.$$

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 14:50 
Аватара пользователя
MestnyBomzh в сообщении #994503 писал(а):
Для тех, в которых функция распределения непрерывна?
Для тех, в которых функция $F_a (x)$ непрерывна. Именно та функция, к которой проверяется сходимость. Она разрывная лишь в одной точке, $x=a$. Вот в ней сходимость проверять не нужно, а в остальных точках нужно.

MestnyBomzh в сообщении #994503 писал(а):
Поправлюсь:
$$F_{\hat{a}} (x)  \to F_{q} (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
  1, x \geq a \\
 0, x \leq a \\
\end{array}
\right.$$
Ну да, только нужно писать аккуратнее:
$$F_{\hat{a}} (x)  \to F_{a} (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
  1, x > a \\
 0, x < a \\
\end{array}
\right.$$

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 15:00 
Аватара пользователя
Любопытно. Получается, это оценка состоятельная, но несмещенная?

-- 23.03.2015, 16:00 --

Любопытно. Получается, это оценка состоятельная, но несмещенная?

 
 
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 15:06 
Аватара пользователя
MestnyBomzh в сообщении #994509 писал(а):
Любопытно. Получается, это оценка состоятельная, но несмещенная?

Да. Но она не просто несмещенная, она асимптотически несмещенная. Т.е. $\mathbf{E}\hat a \to a$ при $n \to \infty$.

Состоятельность можно было доказывать и другим способом. Если выполнено $\mathbf{E}\hat a \to a$ и $\mathbf{D}\hat a \to 0$ при $n \to \infty$, то оценка $\hat a$ состоятельная. Это следует из неравенства Чебышева. В этом случае нужно было бы вычислить дисперсию оценки $\mathbf{D}\hat a$, в нашем случае это не сложно, но все же проще работать с функциями распределения. Когда оценка представляет собой какие-то суммы от элементов выборки $X_i$, то бывает проще вычислять математическое ожидание и дисперсию. А когда минимумы/максимумы, то проще все-таки работать с функциями распределения.

 
 
 [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group