2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение22.03.2015, 22:09 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Дана выборка: $X_1, ... X_n$. Она порождена СВ-ой $\xi$, причем $$f_{\xi} (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
 e^{a-x}, x \geq a \\
0, x \leq a \\
\end{array}
\right.$$
Оценка: $\hat{a} = \min(X_1...X_n)$. Является ли она несмещенная относительно неизвестной $a$?
Верно ли я предположил, что функция распределения для $X_1...X_n$ будет следующей: $F_{X_i} (x) = -e^{a-x}+e^a$?
Если это верно, то верны ли мои дальнейшие рассуждения: Пусть $\eta = \min(X_1...X_n)$ Тогда:
$F_{\eta} (x) = P(\min(X_1...X_n) \leq x) = 1 - P(\min(X_1...X_n) \geq x) =$
$ =  1 - P( \forall i : x_i \geq x) = 1 - P(X_1 \geq x) \cdot ... \cdot P(X_n \geq x) = $
$1-(1-P(X_1 \leq x) \cdot ... \cdot (1-P(X_n \leq x)))=1-(1-e^a+e^{a-x})^n$
Далее нахожу функцию плотности: $f_{\eta} (x) = ne^{a-x}(1-e^a+e^{a-x})$. А дальше мат ожидание не находится. То есть интеграл не берется. Вообще, решение больно громоздкое, так что мне кажется, что оно вообще неверно. Подскажите, в каком направлении двигаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несовмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение22.03.2015, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Нет, функция распределения не такая.

-- 22.03.2015, 22:23 --

И следует говорить "несмещенная".

 Профиль  
                  
 
 Re: Несовмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение22.03.2015, 22:23 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
ex-math
Функции распределения кси и $X_i$ не совпадают? Если так, то как мне найти эту функцию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение22.03.2015, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Вы неверно интегрируете плотность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение22.03.2015, 22:30 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
:facepalm: :facepalm: :facepalm: :facepalm:
да уж.
$F_{X_i} (x) = -e^{a-x}+1$
Тогда
$E \hat{a} = a+1 \neq a$. То есть данная оценка является смещенной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение22.03.2015, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Ну дальше-то был правильный ход рассуждений. Считать-то надо $E\hat{a}$.
Хоть оценка и будет смещенная, но все-таки с ростом $n$ она должна уточняться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение22.03.2015, 22:47 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
А как выяснить состоятельность оценки? Я посмотрел определение и понял, что смог бы доказать, если бы СВ были дискретными

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение22.03.2015, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Обычно используют неравенство Чебышева. Но Вы еще эту задачу до конца не довели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение22.03.2015, 22:54 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Разве? Мат. ожидание не равно $a$, или этого недостаточно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Состоятельность -- это сходимость по вероятности к параметру. Параметр -- число, поэтому эта сходимость равносильна сходимости по распределению, а это очень просто проверяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 03:45 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
ShMaxG
А сходимость по распределению это если $F_{\xi_n} (x) \to F_{\xi} (x), n \to +\infty$?
Тогда в данном случае получается, что $F_{\xi_n} (x) \to  -e^{a-x}+1$ же ?
И что по поводу недостаточности неравенства $a+1 \neq a$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
MestnyBomzh
Мат.ожидание $\hat {a} $ не равно $a $, но и $a+1$ оно тоже не равно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 12:25 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
ex-math
Я опять неправильно посчитал :facepalm:
$f_{\eta} (x) = ne^{n(a-x)}$. Тогда $E \xi = \int_a ^{+ \infty} nxe^{n(a-x)} = \frac{1+an}{n}$, так?

-- 23.03.2015, 13:27 --

А, ну да верно. прям как Вы и сказали
ex-math в сообщении #994289 писал(а):
Хоть оценка и будет смещенная, но все-таки с ростом $n$ она должна уточняться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
MestnyBomzh в сообщении #994353 писал(а):
А сходимость по распределению это если $F_{\xi_n} (x) \to F_{\xi} (x), n \to +\infty$?
Тогда в данном случае получается, что $F_{\xi_n} (x) \to  -e^{a-x}+1$ же ?

Нет. Проверьте определение состоятельности оценки, что к чему должно сходиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несмещенная оценка (теория вероятностей)
Сообщение23.03.2015, 12:38 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Оценка $\hat{a}$ является состоятельной оценкой параметра $a$, если $\forall \varepsilon >0 \lim\limits_{n \to +\infty}P(| \theta_n - \theta| > \varepsilon) = 0$
Что нам здесь использовать в качестве $\theta_n $? Я так понимаю, что значения, которые может принимать выборка. А эти значения мы должны взять отсюда: $$f_{\xi} (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
 e^{a-x}, x \geq a \\
0, x \leq a \\
\end{array}
\right.$$
?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group