Несмещенная оценка (теория вероятностей)

[MestnyBomzh]

Дана выборка: $X_1, ... X_n$. Она порождена СВ-ой $\xi$, причем

$$f_{\xi} (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} e^{a-x}, x \geq a \\ 0, x \leq a \\ \end{array} \right.$$

Оценка: $\hat{a} = \min(X_1...X_n)$. Является ли она несмещенная относительно неизвестной $a$?
Верно ли я предположил, что функция распределения для $X_1...X_n$ будет следующей: $F_{X_i} (x) = -e^{a-x}+e^a$?
Если это верно, то верны ли мои дальнейшие рассуждения: Пусть $\eta = \min(X_1...X_n)$ Тогда:
$F_{\eta} (x) = P(\min(X_1...X_n) \leq x) = 1 - P(\min(X_1...X_n) \geq x) =$
$ = 1 - P( \forall i : x_i \geq x) = 1 - P(X_1 \geq x) \cdot ... \cdot P(X_n \geq x) = $
$1-(1-P(X_1 \leq x) \cdot ... \cdot (1-P(X_n \leq x)))=1-(1-e^a+e^{a-x})^n$
Далее нахожу функцию плотности: $f_{\eta} (x) = ne^{a-x}(1-e^a+e^{a-x})$. А дальше мат ожидание не находится. То есть интеграл не берется. Вообще, решение больно громоздкое, так что мне кажется, что оно вообще неверно. Подскажите, в каком направлении двигаться?

[ex-math]

Нет, функция распределения не такая.

-- 22.03.2015, 22:23 --

И следует говорить "несмещенная".

[MestnyBomzh]

ex-math
Функции распределения кси и $X_i$ не совпадают? Если так, то как мне найти эту функцию?

[ex-math]

Вы неверно интегрируете плотность.

[MestnyBomzh]

да уж.
$F_{X_i} (x) = -e^{a-x}+1$
Тогда
$E \hat{a} = a+1 \neq a$. То есть данная оценка является смещенной.

[ex-math]

Ну дальше-то был правильный ход рассуждений. Считать-то надо $E\hat{a}$.
Хоть оценка и будет смещенная, но все-таки с ростом $n$ она должна уточняться.

[MestnyBomzh]

А как выяснить состоятельность оценки? Я посмотрел определение и понял, что смог бы доказать, если бы СВ были дискретными

[ex-math]

Обычно используют неравенство Чебышева. Но Вы еще эту задачу до конца не довели.

[MestnyBomzh]

Разве? Мат. ожидание не равно $a$, или этого недостаточно?

[ShMaxG]

Состоятельность -- это сходимость по вероятности к параметру. Параметр -- число, поэтому эта сходимость равносильна сходимости по распределению, а это очень просто проверяется.

[MestnyBomzh]

ShMaxG
А сходимость по распределению это если $F_{\xi_n} (x) \to F_{\xi} (x), n \to +\infty$?
Тогда в данном случае получается, что $F_{\xi_n} (x) \to -e^{a-x}+1$ же ?
И что по поводу недостаточности неравенства $a+1 \neq a$?

[ex-math]

MestnyBomzh
Мат.ожидание $\hat {a} $ не равно $a $, но и $a+1$ оно тоже не равно.

[MestnyBomzh]

ex-math
Я опять неправильно посчитал
$f_{\eta} (x) = ne^{n(a-x)}$. Тогда $E \xi = \int_a ^{+ \infty} nxe^{n(a-x)} = \frac{1+an}{n}$, так?

-- 23.03.2015, 13:27 --

А, ну да верно. прям как Вы и сказали

ex-math в сообщении #994289 писал(а):

Хоть оценка и будет смещенная, но все-таки с ростом $n$ она должна уточняться.

[ShMaxG]

MestnyBomzh в сообщении #994353 писал(а):

А сходимость по распределению это если $F_{\xi_n} (x) \to F_{\xi} (x), n \to +\infty$?
Тогда в данном случае получается, что $F_{\xi_n} (x) \to -e^{a-x}+1$ же ?

Нет. Проверьте определение состоятельности оценки, что к чему должно сходиться.

[MestnyBomzh]

Оценка $\hat{a}$ является состоятельной оценкой параметра $a$, если $\forall \varepsilon >0 \lim\limits_{n \to +\infty}P(| \theta_n - \theta| > \varepsilon) = 0$
Что нам здесь использовать в качестве $\theta_n $? Я так понимаю, что значения, которые может принимать выборка. А эти значения мы должны взять отсюда:

$$f_{\xi} (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} e^{a-x}, x \geq a \\ 0, x \leq a \\ \end{array} \right.$$

?