2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение20.03.2015, 22:58 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
ИСН в сообщении #992514 писал(а):
Вращение - это движение, определяемое осью и углом поворота.
Назовём это «вращение I». В этом определении подчёркивается, как получить новое положение тела.

А можно дать такое определение:
Вращение — это движение, при котором одна точка (центр) остается неподвижной и сохраняется ориентация.
Движение означает, что расстояния сохраняются.
Сохранение ориентации — что правая перчатка при вращении не становится левой.
Такое определение назовём «вращение II». Здесь упор делается на результат (какая точка перешла в какую), а как именно это достигается — неважно. Может, распылением тела на атомы и сборкой в ином положении.

Если твёрдое тело повернуть в смысле вращения I, то это будет и вращение II, все требования выполнены. А наоборот? Нет ли такого, что вращение II — это широкое множество преобразований, в том числе таких, которые одним поворотом вокруг оси на угол (вращение I) не достигаются?

Ответ даёт теорема Эйлера. В нашей терминологии: любое вращение II может быть получено как вращение I. Возьмите мяч, зафиксируйте его начальное состояние и потом долго вертите как угодно, зафиксируйте конечное состояние. Эйлер утверждает: тот же результат всегда можно получить по-ИСНовски: одним поворотом мяча вокруг нужной оси на нужный угол.

Раз определения эквивалентны, я далее со спокойной совестью понимаю вращение в смысле II.

Берём платоново тело (правильный многогранник). У него $n$ вершин и у каждой $k$ соседних (соединены ребром). Как можно задать его вращение II вокруг центра? Сначала построим в пространстве неподвижную сетку. Отметьте в пространстве $n$ неподвижных точек, в которых находятся $n$ вершин многогранника в начальном состоянии. Неподвижные точки, соответствующие соседним вершинам, назовем соседними.

Одну вершину многогранника пометьте красным, а одну из $k$ соседних вершин пометьте синим. В результате вращения многогранника его красная вершина должна перейти в одну из неподвижных точек, её можно выбрать $n$ способами. А синяя вершина перейдет в одну из точек, соседних с выбранной — такую (когда первый выбор сделан) можно выбрать $k$ способами. Тем самым уже определится и положение всех остальных вершин многогранника, они окажутся в остальных неподвижных точках.

Так что ответ: $nk$. Проверьте на всех платоновых телах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение21.03.2015, 13:11 


19/03/15
27
[quote="svv в сообщении #993251"
Так что ответ: $nk$. Проверьте на всех платоновых телах.[/quote]

Проверено! Спасибо всем откликнувшимся на тему! Огромное спасибо svv за объяснение на пальцах!
Если кто-то будет читать тему в архиве, то по теории групп есть оч. доступная популярная (и небольшая - 150 стр.) книга из серии "Мир математики в 45 томах" - 35 Том "Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее примерение"

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение21.03.2015, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
Довольно чахлая книжечка, не оправдавшая названия.

Лучше попробуйте
Александров П. С. Введение в теорию групп. (Библиотечка Квант вып. 7, и переиздание - Библиотечка Квант вып. 108)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение21.03.2015, 13:45 


19/03/15
27
2 Munin: Спасибо, обязательно прочту!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group