Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве

[svv]

ИСН в сообщении #992514 писал(а):

Вращение - это движение, определяемое осью и углом поворота.

Назовём это «вращение I». В этом определении подчёркивается, как получить новое положение тела.

А можно дать такое определение:
Вращение — это движение, при котором одна точка (центр) остается неподвижной и сохраняется ориентация.
Движение означает, что расстояния сохраняются.
Сохранение ориентации — что правая перчатка при вращении не становится левой.
Такое определение назовём «вращение II». Здесь упор делается на результат (какая точка перешла в какую), а как именно это достигается — неважно. Может, распылением тела на атомы и сборкой в ином положении.

Если твёрдое тело повернуть в смысле вращения I, то это будет и вращение II, все требования выполнены. А наоборот? Нет ли такого, что вращение II — это широкое множество преобразований, в том числе таких, которые одним поворотом вокруг оси на угол (вращение I) не достигаются?

Ответ даёт теорема Эйлера. В нашей терминологии: любое вращение II может быть получено как вращение I. Возьмите мяч, зафиксируйте его начальное состояние и потом долго вертите как угодно, зафиксируйте конечное состояние. Эйлер утверждает: тот же результат всегда можно получить по-ИСНовски: одним поворотом мяча вокруг нужной оси на нужный угол.

Раз определения эквивалентны, я далее со спокойной совестью понимаю вращение в смысле II.

Берём платоново тело (правильный многогранник). У него $n$ вершин и у каждой $k$ соседних (соединены ребром). Как можно задать его вращение II вокруг центра? Сначала построим в пространстве неподвижную сетку. Отметьте в пространстве $n$ неподвижных точек, в которых находятся $n$ вершин многогранника в начальном состоянии. Неподвижные точки, соответствующие соседним вершинам, назовем соседними.

Одну вершину многогранника пометьте красным, а одну из $k$ соседних вершин пометьте синим. В результате вращения многогранника его красная вершина должна перейти в одну из неподвижных точек, её можно выбрать $n$ способами. А синяя вершина перейдет в одну из точек, соседних с выбранной — такую (когда первый выбор сделан) можно выбрать $k$ способами. Тем самым уже определится и положение всех остальных вершин многогранника, они окажутся в остальных неподвижных точках.

Так что ответ: $nk$. Проверьте на всех платоновых телах.

[Sasha_Gu]

[quote="svv в сообщении #993251"
Так что ответ: $nk$. Проверьте на всех платоновых телах.[/quote]

Проверено! Спасибо всем откликнувшимся на тему! Огромное спасибо svv за объяснение на пальцах!
Если кто-то будет читать тему в архиве, то по теории групп есть оч. доступная популярная (и небольшая - 150 стр.) книга из серии "Мир математики в 45 томах" - 35 Том "Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее примерение"

[Munin]

Довольно чахлая книжечка, не оправдавшая названия.

Лучше попробуйте
Александров П. С. Введение в теорию групп. (Библиотечка Квант вып. 7, и переиздание - Библиотечка Квант вып. 108)

[Sasha_Gu]

2 Munin: Спасибо, обязательно прочту!