2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение19.03.2015, 12:18 


19/03/15
27
Добрый день, уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, разобраться с задачей.
Вопрос следующий: необходимо посчитать для всех 5 платоновых тел количество вращений в 3х-мерном пространстве, которые оставляют эти тела неизменными.
Хотелось бы разобраться хотя бы на примере тетраэдра. Я профан и т.к. так с наскоку разобраться было трудно первым шагом стало изготовление моделей тел и процесс кручения-верчения. Но мои рассуждения как-то расходятся с найденными в литературе.

Мои пассуждения: "У тетраэдра 4 вершины и 4 грани, если "пропустить" ось симметрии через одну из вершин и противолежащую грань, то можно насчитать 3 вращения, оставляющие тетраэдр неизменным, на каждую вершину - итого - 12. Если "пропустить" ось симметрии через середину 1ого из ребер в середину другого ребра, то можно насчитать 2 вращения на каждуюпару ребер, а пар ребер 3, следовательно + еще 6. Итого получилось 18.


Что нашлось по теме - "Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника {3, 3}. Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии" - отсюда - http://ru.convdocs.org/docs/index-117.html

и другая версия - "Сколько допускает тетраэдр вразений или каков порядок группы? ...всякая ось симметрии n-ого порядка делает возможным (n-1) разных поворотов. В тетраэдре есть 4 оси третьего порядка, которые проходят через его вершины и центры лежащих напротиы них граней, а так же 3 оси второго порядка , соединяющих середины противоположных (не имеющих общих вершин) ребер. Принято еще прибавлять тождественный поворот. Итого - 4*2+3*1+1 = 12." - отсюда - http://files.school-collection.edu.ru/d ... 6_2006.pdf

Кол-во же возможных вращений для других групп - куба-октаэдра - 24, икосаэдра-додекаэдра - 60.

Правильно ли я понимаю задачу и где ошибка в моих рассуждениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение19.03.2015, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Sasha_Gu в сообщении #992399 писал(а):
Правильно ли я понимаю задачу и где ошибка в моих рассуждениях?

Здесь:
Sasha_Gu в сообщении #992399 писал(а):
У тетраэдра 4 вершины и 4 грани, если "пропустить" ось симметрии через одну из вершин и противолежащую грань, то можно насчитать 3 вращения, оставляющие тетраэдр неизменным, на каждую вершину - итого - 12.

Это какие 3 вращения, позвольте уточнить? На сколько градусов, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение19.03.2015, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Счетное число вращений на $2k \pi/3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение19.03.2015, 15:21 


19/03/15
27
ИСН в сообщении #992413 писал(а):
Это какие 3 вращения, позвольте уточнить? На сколько градусов, например?


На 120 градусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение19.03.2015, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Ну ОК, это одно вращение, а ещё два?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение19.03.2015, 15:36 


19/03/15
27
Эм... Каждое вращение по 120 градусов, без повторов, конечно же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение19.03.2015, 16:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Я понимаю, что Вы имеете в виду, но всё-таки скажите это на моём языке. Вращение - это движение, определяемое осью и углом поворота. Ось Вы задали (можно выбрать 4 разных, это правда). Какие возможны углы поворота. $120^\circ$, да. Ещё?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение19.03.2015, 16:21 


19/03/15
27
Хорошо) Тогда вопрос, начальное положение, ведь не считается? Я его изначально не считаю, и итого у меня получается 120, 240 и 360 градусов, соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение19.03.2015, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Хорошо. Вот мы и добрались до корня зла. Вот этот поворот на $360^\circ$: чем он отличается от начального положения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение20.03.2015, 11:48 


19/03/15
27
Кажется я начинаю понимать) Если не считать поворот на 360 и начальное положение, то получается по 2 вращения на ось "вершины-грани" (таких осей 4 - итого 8 вращений) и по 1му вращению на каждую ось "середина ребра - середина противолежащего ребра" (таких осей 3 - итого +3 вращения) Общий результат -12 :) Спасибо! Только у меня теперь не получается по аналогии для куба *берет следующую модель. У куба - 4 оси через 2 пары вершин (они дают нам по 2 вращения, итого 8 вращений), 6 осей через середины ребер (дают по 1му вращению, +6 вращений) и 3 оси через середины граней (на каждую по 3 вращения, +9 вращений). Итого, 8 + 6 + 9 = 23 вращения, а надо 24 :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение20.03.2015, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Sasha_Gu в сообщении #992974 писал(а):
по 2 вращения на ось "вершины-грани" (таких осей 4 - итого 8 вращений) и по 1му вращению на каждую ось "середина ребра - середина противолежащего ребра" (таких осей 3 - итого +3 вращения) Общий результат -12
Ещё раз, помедленнее: вижу число 8, вижу число 3. Откуда 12?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение20.03.2015, 12:36 


19/03/15
27
8 вращений + 3 вращения + 1 тождественный поворот (я, если честно, не понимаю, что это, просто по аналогии с пересчетом в цитатах первом моем посте) = 12, которое, вроде как искомый результат. А вот в случае с кубом именно тождественный поворот забылся... А так тоже 24 получается. Если не затруднит, не могбли бы вы объяснить про тождественный поворот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение20.03.2015, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Без теории групп это затруднительно. Ну вот разве что так: Вы считаете разные положения, в которых фигура совпадает сама с собой. Это и есть одно из них, ничем не хуже остальных, так же как 0 ничем не хуже других чисел, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение20.03.2015, 14:42 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
Можно мне считать, что Вы решили задачу, и показать ещё один способ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве
Сообщение20.03.2015, 20:26 


19/03/15
27
svv в сообщении #993047 писал(а):
Можно мне считать, что Вы решили задачу, и показать ещё один способ?

Нет, еще в процессе, еще один способ будет оч. кстати!

2 ИСН: Спасибо за термин! Я имею ввиду теорию групп, поробую покопать по теме, если моей компетенции, конечно, хватит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group