Почти единичный квадрат и проблема Г.Штейнгауза

[scwec]

Рассматриваем на плоскости прямоугольник, у которого длины сторон $1$ и $1+\delta$, где $\delta\ne{0}$ - рациональное число.
Докажите, что число $\delta$ можно выбрать сколь угодно малым так, что на плоскости найдется точка (на самом деле бесконечно много точек),
все расстояния от которой до вершин прямоугольника выражаются рациональными числами.
(При $\delta=0$ имеем открытую пока проблему Г.Штейнгауза).

[patzer2097]

При

$$\delta=\frac{n^2+2mn-m^2}{m^2-n^2}$$

расстояние до центра будет рациональным, и будет достаточно положить $m$ равным целой части $cn$, где $c^2-2c-1=0$. Не знаю, удовлетворяет ли это решение дополнительному условию о бесконечном числе точек.

[scwec]

patzer2097
Относительно вашего решения. Оно верное. Кроме центра прямоугольника здесь есть еще 4 точки - вершины прямоугольника, расстояния от которых до вершин все рациональные.
На сторонах и их продолжениях в вашем случае существует бесконечное множество искомых точек.
Это решают 2 эллиптические кривые. Одна из них $Y^2=X^3+2(m^4+n^4)X^2+(m^2-n^2)^4{X}$. На ней рациональная точка $P=[(n-m)(n+m)^3,2n^2{(m-n)(m+n)^3]$. Координаты точки $2P$ (не выписываю) дробные при любых допустимых здесь $m,n$.
Коэффициенты эллиптической кривой целые, сл-но, точка $2P$ бесконечного порядка - из теоремы Лутц-Нагеля. Со второй кривой дело обстоит так же.

Дельта выбирается и другими способами. Имелось в виду $\delta=\frac{m^3+2m-2}{2}$, где $m$ принимает рациональные значения в окрестности $m_0$ и $m_0^3+2m_0-2=0$. (В этом случае центр прямоугольника и вершины искомыми точками не являются).

[scwec]

В решении patzer2097 положим $m=-2k-1,n=k^2-1$ и соответственно $\delta=-\dfrac{k^4-4k^3-8k^2+2}{k^4-6k^2-4k}$, где $k$ рациональное число, сколь угодно близкое к $\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}+3}-1}{\sqrt{2}+1}$.
Докажите, что в этом случае бесконечно много искомых точек содержит и средняя линия прямоугольника, параллельная стороне с длиной $1$.
(Заменил $1+\delta$ на $1$)

[scwec]

Если же положить $m=\dfrac{k^2-2k-2}{2},n=-\dfrac{k^2+2k}{2}$ и, соответственно, $\delta=\dfrac{k^4-4k^3-8k^2+2}{4k^3+2k^2-4k-2}$, где $k$ рациональное число сколь угодно близкое к $\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}+3}-1}{\sqrt{2}+1}$,
то бесконечно много искомых точек будет содержать средняя линия прямоугольника, параллельная стороне длиной $1+\delta$.
Конечно, интересно было бы найти искомую точку "асимметричную", т.е. не на сторонах и не на средних линиях прямоугольника, сколь угодно мало отличающегося от единичного квадрата. Подходящее место - диагонали.

[scwec]

С диагоналями: нахождение искомых точек на них сводится к нахождению рациональных точек на эллиптической кривой $E: w^2=u^3+\left(s^2+\dfrac{1}{s^2}\right)u^2+u\qquad(1)$,
где $s=\dfrac{m^2-n^2}{2mn}$.
(Построение этой кривой само по себе не является тривиальной задачей. Здесь использована была т.н. параметризация Шуберта).
Далее, на диагонали всегда есть три точки - центр прямоугольника и две вершины, которые есть искомые точки.
Можно доказать, что на кривой $(1)$ всегда существует 16 рациональных точек конечного порядка. И каждая либо соответствует одной из указанных 3 точек, либо не соответствуют никаким конечным точкам на диагонали. Стало быть, наличие хотя бы одной дополнительной искомой точки на $(1)$ гарантирует ее бесконечный порядок и наличие бесконечного количества искомых точек на диагонали.
Доказывается, что такая дополнительная рациональная точка на $(1)$ существует, например, если $s=-\dfrac{2k+1}{k^2-1}\qquad(2)$, где $k$ рационально.
Это $(u,w)=\left(-\dfrac{2k+1}{k^2-1},\dfrac{(k^2-2k-2)(k^2+k+1)}{(k^2-1)^2}\right)$
Таких $k$ существует бесконечно много - вытекает из того, что ранг кривой $y^2=k^4+2k^2+4k+2\qquad(3)$ равен $1$.
(Правая часть $(3)$ есть дискриминант квадратного уравнения $(2)$ относительно $m/n$).
Остается воспользоваться теоремой Пуанкаре-Гурвица о плотности рациональных точек на связной компоненте эллиптичесой кривой при наличии хотя бы одной рациональной точки бесконечного порядка на этой компоненте. Таким образом, выбирается из рациональных решений $(2)$ $k$, сколь угодно
близкое к нулю, при этом $s$ сколь угодно близко к $1$, а $m/n$ сколь угодно близко к $\sqrt{2}+1$. При этом одна сторона прямоугольника равна $1$, а вторая сколь угодно мало отличается от $1$. Так получаемые прямоугольники сколь угодно мало отличаются от единичного квадрата и на их диагоналях бесконечно много точек, все расстояния от которых до вершин рациональны.

Теперь остается научиться находить искомые точки не лежащие на сторонах, средних линиях и диагоналях прямоугольников со сторонами $1$ и $1+\delta$, приближающих единичный квадрат.