Фурье-преобразование. Ошибка?

[r0ma]

Здравсвтуйте.
Надо было взять фурье:

$$\int \frac{e^{-(ik_x x+ik_y y)}}{r}d^2 r,$$

$r=\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$.
Ответ у меня получился таким:

$$\int \frac{e^{-(ik_x x+ik_y y)}}{r}d^2 r = \frac{1}{q}.$$

Но в одно учебнике по физике это фурье вычислено по-другому:

$$\int \frac{e^{-(ik_x x+ik_y y)}}{r}d^2 r = -i\frac{1}{q}.$$

Убей не пойму. Видимо, в учебнике опечатка? Откуда там взяться мнимости?

Я брал просто. Расписывал в полярных. Интегрирование по углу давало нулевой бессель. Интегрирование по радиольной компоненте от бесселя дало единицу.

[Red_Herring]

Посмотрите, как в этом учебнике определяется ПФ. Но если обычным образом—Вы правы, т.к. функция чётная и вещественная и её ПФ обязано быть вещественным

[r0ma]

Red_Herring в сообщении #992448 писал(а):

Посмотрите, как в этом учебнике определяется ПФ. Но если обычным образом—Вы правы, т.к. функция чётная и её ПФ обязано быть вещественным

Да. Обычным. Единственное, там знак другой в экспоненте. Но когда сюда переписывал результат учебника, я подогнал его под своё фурье заменой $q \rightarrow -q$. Хорошо. Я так и думал. Уточнил для пущей уверенности.
Спасибо!

[Munin]

Имейте в виду, ПФ везде определяют по-разному, это примерно такая же штука, как соглашения о знаках - надо всегда смотреть, как у автора текста.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #992650 писал(а):

Имейте в виду, ПФ везде определяют по-разному, это примерно такая же штука, как соглашения о знаках - надо всегда смотреть, как у автора текста.

Ну в основном дело в знаке (в экспоненте) и куда $2\pi$ засовывают (тут есть несколько вариантов). Остальные секты м.б. и существуют, но я их представителей не встречал.

[Munin]

Ну да. Ещё есть косинусные и синусные всякие варианты. Ещё "колокольчик" Гаусса по-разному сжимают и нормируют, например (кстати, кажется, как раз из-за Фурье). Что-то ещё - вообще полезная привычка сверяться с обозначениями.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #992775 писал(а):

Ещё "колокольчик" Гаусса по-разному сжимают и нормируют, например

Правда? Для одного и того же применения, наверно, всё-таки без вариантов? В теорвере, например, не видно, что может быть лучше плотности $N(0,1)$.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #992844 писал(а):

[o]

Munin в сообщении #992775 писал(а):

Ещё "колокольчик" Гаусса по-разному сжимают и нормируют, например

Правда? Для одного и того же применения, наверно, всё-таки без вариантов? В теорвере, например, не видно, что может быть лучше плотности $N(0,1)$.

Если засовывать $2\pi$ в экспоненту, как иногда делают то варианты появляются. Но тут есть ещё разночтения: в более общепринятом erf нет 2!

http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

[r0ma]

Munin в сообщении #992650 писал(а):

Имейте в виду, ПФ везде определяют по-разному, это примерно такая же штука, как соглашения о знаках - надо всегда смотреть, как у автора текста.

Да я понимаю. Лично мне приходится брать (и вроде как я к этому привык) в виде

$$f_k = \int dx\ f(x) e^{-ikx}.$$

Это, конечно, немного несимметрично, но меня вынуждают это делать учебники класс. физики. Просто чтобы за коэффициентами не следить. Разночтения могут быть в знаке экспоненты, но они элементарно устраняются заменой знака $k$.

Но лично я предпочёл бы симметричную форму с фактором $(2\pi)^\mathrm{- D/2}$.

[Red_Herring]

А как насчет $\int f(x)e^{2\pi ikx}\,dx$ что также встречается?

[r0ma]

Red_Herring в сообщении #993166 писал(а):

А как насчет $\int f(x)e^{2\pi ikx}\,dx$ что также встречается?

Я такое впервые стречаю