2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение19.03.2015, 14:08 
Аватара пользователя
Здравсвтуйте.
Надо было взять фурье:
$$\int \frac{e^{-(ik_x x+ik_y y)}}{r}d^2 r,$$
$r=\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$.
Ответ у меня получился таким:
$$\int \frac{e^{-(ik_x x+ik_y y)}}{r}d^2 r = \frac{1}{q}.$$

Но в одно учебнике по физике это фурье вычислено по-другому:
$$\int \frac{e^{-(ik_x x+ik_y y)}}{r}d^2 r = -i\frac{1}{q}.$$
Убей не пойму. Видимо, в учебнике опечатка? Откуда там взяться мнимости?

Я брал просто. Расписывал в полярных. Интегрирование по углу давало нулевой бессель. Интегрирование по радиольной компоненте от бесселя дало единицу.

 
 
 
 Re: Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение19.03.2015, 14:12 
Аватара пользователя
Посмотрите, как в этом учебнике определяется ПФ. Но если обычным образом—Вы правы, т.к. функция чётная и вещественная и её ПФ обязано быть вещественным

 
 
 
 Re: Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение19.03.2015, 14:51 
Аватара пользователя
Red_Herring в сообщении #992448 писал(а):
Посмотрите, как в этом учебнике определяется ПФ. Но если обычным образом—Вы правы, т.к. функция чётная и её ПФ обязано быть вещественным
Да. Обычным. Единственное, там знак другой в экспоненте. Но когда сюда переписывал результат учебника, я подогнал его под своё фурье заменой $q \rightarrow -q$. Хорошо. Я так и думал. Уточнил для пущей уверенности.
Спасибо!

 
 
 
 Re: Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение19.03.2015, 19:22 
Аватара пользователя
Имейте в виду, ПФ везде определяют по-разному, это примерно такая же штука, как соглашения о знаках - надо всегда смотреть, как у автора текста.

 
 
 
 Re: Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение19.03.2015, 19:49 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #992650 писал(а):
Имейте в виду, ПФ везде определяют по-разному, это примерно такая же штука, как соглашения о знаках - надо всегда смотреть, как у автора текста.


Ну в основном дело в знаке (в экспоненте) и куда $2\pi$ засовывают (тут есть несколько вариантов). Остальные секты м.б. и существуют, но я их представителей не встречал.

 
 
 
 Re: Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение19.03.2015, 22:37 
Аватара пользователя
Ну да. Ещё есть косинусные и синусные всякие варианты. Ещё "колокольчик" Гаусса по-разному сжимают и нормируют, например (кстати, кажется, как раз из-за Фурье). Что-то ещё - вообще полезная привычка сверяться с обозначениями.

 
 
 
 Re: Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение20.03.2015, 01:42 

(Оффтоп)

Munin в сообщении #992775 писал(а):
Ещё "колокольчик" Гаусса по-разному сжимают и нормируют, например
Правда? Для одного и того же применения, наверно, всё-таки без вариантов? В теорвере, например, не видно, что может быть лучше плотности $N(0,1)$.

 
 
 
 Re: Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение20.03.2015, 02:58 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #992844 писал(а):
[o]
Munin в сообщении #992775 писал(а):
Ещё "колокольчик" Гаусса по-разному сжимают и нормируют, например
Правда? Для одного и того же применения, наверно, всё-таки без вариантов? В теорвере, например, не видно, что может быть лучше плотности $N(0,1)$.

Если засовывать $2\pi$ в экспоненту, как иногда делают то варианты появляются. Но тут есть ещё разночтения: в более общепринятом erf нет 2!

http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

 
 
 
 Re: Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение20.03.2015, 14:59 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #992650 писал(а):
Имейте в виду, ПФ везде определяют по-разному, это примерно такая же штука, как соглашения о знаках - надо всегда смотреть, как у автора текста.
Да я понимаю. Лично мне приходится брать (и вроде как я к этому привык) в виде
$$f_k = \int dx\ f(x) e^{-ikx}.$$
Это, конечно, немного несимметрично, но меня вынуждают это делать учебники класс. физики. Просто чтобы за коэффициентами не следить. Разночтения могут быть в знаке экспоненты, но они элементарно устраняются заменой знака $k$.

Но лично я предпочёл бы симметричную форму с фактором $(2\pi)^\mathrm{- D/2}$.

 
 
 
 Re: Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение20.03.2015, 19:35 
Аватара пользователя
А как насчет $\int f(x)e^{2\pi ikx}\,dx$ что также встречается?

 
 
 
 Re: Фурье-преобразование. Ошибка?
Сообщение21.03.2015, 17:22 
Аватара пользователя
Red_Herring в сообщении #993166 писал(а):
А как насчет $\int f(x)e^{2\pi ikx}\,dx$ что также встречается?

Я такое впервые стречаю :oops:

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group