Выражение 0^0

[Someone]

AD писал(а):

Гг. А всё потому, что я поленился заглянуть в тетрадку за точной формулировкой и написал первое, что пришло в голову.

Вот, иногда лень (а я ведь тоже поленился разыскивать определение в книжке Куратовского и Мостовского) приводит к оригинальной формулировке. Главное, что формулировка оказалась правильной.

P.S. Однажды на семинаре, где я присутствовал, академик П.С.Александров ругал докладчика за то, что тот цитировал по памяти и переврал цитату.

[Алексей К.]

Someone писал(а):

Вот, иногда лень ... приводит к оригинальной формулировке.

[ sorry, несколько offtopic ]
А может кто помнит --- именно о пользе лени --- есть один участник (забыл, кто), в подписи которого использованы стихи И. Губермана про лень. Поиск по форуму подписи не просматривает, и я не могу найти --- а так хочется это большими буквами на стенку повесить!

добавлено 2 февраля (или 3)
Ну и что, что не просматривет? Берёшь гуманитарный раздел, каку-нибудь большую тему типа о свободе научного творчества, все сообщения сразу (ещё раз спасибо cepeshу), поиск не по форуму, а по странице. Поиск строки "Губерман". Ник участника --- Sanyok, его подпись и тронула...

[shust]

Someone писал(а):

Вопрос в другом: мои равенства 1) и 2) определяют сложение в описанной ситуации или не определяют?

Я конечно не профессор Снейп и даже не профессор просто , но, как мне кажется, есть более простые соображения по поводу определения сложения.

Попробуйте найти значение выражения
$n+1$, где $1=0'$,
используя классическое определение сложения
$n+m'=(n+m)'$
и SAD-определение сложения
$n+m'=n'+m$, названное по начальным буквам его авторов.

[эрджи]

Равно 1.
Потому что при любых операциях нуля с нулём как то: умнож., дел., слож., выч., и пр. всегда результатом служит единица.

[Профессор Снэйп]

shust писал(а):

Попробуйте найти значение выражения
$n+1$, где $1=0'$,
используя классическое определение сложения
$n+m'=(n+m)'$
и SAD-определение сложения
$n+m'=n'+m$, названное по начальным буквам его авторов.

А в чём проблема?

Классическое определение: $n + 1 = n+0' = (n+0)' = n'$.

SAD-определение: $n + 1 = n+0' = n' + 0 = n'$.

P.S. Лень --- двигаель прогресса

[shust]

Профессор Снэйп писал(а):

Классическое определение: $n + 1 = n+0' = (n+0)' = n'$.

В этом случае нет вопросов, цепочка равенств верна с учетом начальной аксиомы
1) $n+0=n$

Профессор Снэйп писал(а):

SAD-определение: $n + 1 = n+0' = n' + 0 = n'$.

А вот здесь есть вопрос: почему верно $n' + 0 = n'$, откуда это следует?
У нас другая начальная аксиома: 1) $n+0=n$.

Вопрос чисто формальный, Предположим, что я не человек, который знает, что любое число сложенное с нулем дает это же число, а автомат, который формально осуществляет манипуляции со знаками по формальным правилам (в духе Д. Гильберта). Последнее равенство в цепочке он не может написать - неоткуда.

[Someone]

shust писал(а):

А вот здесь есть вопрос: почему верно $n' + 0 = n'$, откуда это следует?
У нас другая начальная аксиома: 1) $n+0=n$.

Потому что в аксиоме $n$ - это любое натуральное число. А $n'$ - натуральное число, поэтому к $n'$ аксиома тоже применима. А также к натуральным числам $m$, $k$, $p+q$, ...

Если уж у Вас возникли такие сомнения, тогда давайте кроме аксиомы $n+0=n$ напишем ещё $m+0=m$, $k+0=k$, $(p+q)+0=p+q$, ...

shust писал(а):

Вопрос чисто формальный, Предположим, что я не человек, который знает, что любое число сложенное с нулем дает это же число, а автомат, который формально осуществляет манипуляции со знаками по формальным правилам (в духе Д. Гильберта). Последнее равенство в цепочке он не может написать - неоткуда.

Так автомат Ваш должен не на начертания символов ориентироваться.

[Профессор Снэйп]

shust писал(а):

А вот здесь есть вопрос: почему верно $n' + 0 = n'$, откуда это следует?
У нас другая начальная аксиома: 1) $n+0=n$.

Вам Someone всё правильно написал. В системе равенств

$$ \begin{array}{ccl} n + 0 &=& 0 \\ n + m' &=& n' + m \end{array} $$

первое равенство определяет результат прибавления нуля к любому числу $n$. В том числе и к числу $n'$ из второго равенства. Не ищите подвоха там, где его нет

В связи с этим анекдот вспомнился. Идёт студент, встречает полковника с военной кафедры. Ну и спрашивает его: "Товарищ полковник, а сколько булочек вы на голодный желудок можете съесть?" "Ну, пять или шесть", --- отвечает полковник. "А вот и нет", --- говорит ему студент --- "только одну. Потому что другие будут уже не на голодный желудок." "Ишь ты", --- думает полковник --- "как хитро!" Идёт полковник дальше и встречает декана. "А что, товарищ декан", --- спрашивает полковник --- "сколько булочек вы можете съесть на голодный желудок?" "Ну, четыре или пять", --- говорит декан. "Ах, чёрт", --- восклицает полковник --- "сказали бы вы пять или шесть, я бы вас так здорово подколол!"

[shust]

shust писал(а):

А вот здесь есть вопрос: почему верно $n' + 0 = n'$, откуда это следует?

С точки зрения математики утверждение 1)' $n' + 0 = n'$
должно быть либо аксиомой, либо теоремой. Рассмотрим обе альтернативы.

Пусть 1)' $n' + 0 = n'$ будем считать аксиомой. Тогда SAD определение сложения можно использовать. Однако в этом случае возникают две сложности:
1. Из нее нельзя вывести частное утверждение $0 + 0 = 0$, которое также придется объявить аксиомой.
2. Совокупность аксиом
1) $n + 0 = n$
1)' $n' + 0 = n'$ явно избыточна, что не хорошо.

Пусть по-прежнему только 1) $n + 0 = n$ будем считать аксиомой.
Тогда 1)' $n' + 0 = n'$ является теоремой, требующей для своего доказательства использования других аксиом и правил вывода . Вот рассуждения (без излишнего использования формализма), состоящее из посылок
- $n + 0 = n$ верно для всех натуральных $n$,
- аксиомы (дополнительной!): из того, что $n$ - натуральное число следует, что $n'$ - натуральное число и
- известного правила вывода, в соответствии с которым и получается, что $n' + 0 = n'$ - верно
(совершенно аналогично известному примеру: "Сократ человек, все люди смертны, значит Сократ умрет" )
Из того, что эти рассуждения проводится, как говорится, в уме, неявно, на интуитивном уровне,

Someone писал(а):

Потому что в аксиоме $n$ - это любое натуральное число. А $n'$ - натуральное число, поэтому к $n'$ аксиома тоже применима

Профессор Снэйп писал(а):

первое равенство определяет результат прибавления нуля к любому числу $n$. В том числе и к числу $n'$ из второго равенства

утверждение $n' + 0 = n'$ не теряет в этом случае статус теоремы и не приобретает, соответственно, статус аксиомы.

Итак, резюмирую, в случае классического определения операции сложения
$n+0=n$
$n+m'=(n+m)'$
оба утверждения - аксиомы, согласованные друг с другом и не требующие других аксиом и правил вывода.
Для SAD определения операции сложения
$n+0=n$
$n+m'=n'+m$
требуется дополнительная аксиома и правило вывода. Вам это надо?

Классическое определение операции сложение корректно не потому, что оно приведено в первоисточниках, а приведено в них , потому, что оно корректно.

Ps. Д. Гильберт в своем уже цитируемом несколько выше труде http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=98779&si ... 4e20#98779,
даже в двух местах (стр. 376 и стр. 439) пишет, что формулу $n+m'=n'+m$ можно доказать с помощью индукции.

[Someone]

shust писал(а):

Для SAD определения операции сложения
$n+0=n$
$n+m'=n'+m$
требуется дополнительная аксиома и правило вывода. Вам это надо?

Какая дополнительная аксиома требуется? Приведите её.

[shust]

Someone писал(а):

Какая дополнительная аксиома требуется? Приведите её.

Одна из аксиом Пеано. Я уже ее приводил в своем предыдущем выступлении:

shust писал(а):

- аксиомы (дополнительной!): из того, что $n$ - натуральное число следует, что $n'$ - натуральное число

В формулах: $n\in N$ $\to $ $n'\in N$ .

В английском варианте эту аксиому
6. For every natural number n, S(n) is a natural number.
можно посмотреть по ссылке http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms

[Someone]

shust писал(а):

Одна из аксиом Пеано. Я уже ее приводил в своем предыдущем выступлении:

shust писал(а):

- аксиомы (дополнительной!): из того, что $n$ - натуральное число следует, что $n'$ - натуральное число

В формулах: $n\in N$ $\to $ $n'\in N$ .

В английском варианте эту аксиому
6. For every natural number n, S(n) is a natural number.
можно посмотреть по ссылке http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms

Глупость какая-то. Речь шла об определении натуральных чисел в теории множеств, где натуральный ряд определяется как наименьшее множество $\mathbb N$, удовлетворяющее условиям $\varnothing\in\mathbb N$ и $X\in\mathbb N\Rightarrow X'\in\mathbb N$, где $X'=X\cup\{X\}$. Существование и единственность такого множества доказывается. Вы же, если не ошибаюсь, ссылались на книгу Куратовского и Мостовского, могли бы там посмотреть.
Если же говорить об аксиоматике Пеано, то там упомянутая Вами аксиома всё равно есть, и для определения суммы с помощью равенства $n+m'=(n+m)'$ она нужна ничуть не меньше, чем для определения с помощью равенства $n+m'=n'+m$. Иначе как Вы докажете, что $(n+m)'$ является натуральным числом?

[Профессор Снэйп]

shust писал(а):

оба утверждения - аксиомы, согласованные дрег с другом и не требующие других аксиом и правил вывода.
Для SAD определения операции сложения
$n+0=n$
$n+m'=n'+m$
требуется дополнительная аксиома и правило вывода. Вам это надо?

Какие дополнительные аксиомы? Какие правила вывода? Откуда? Где Вы там какие-то сложности находите?

Оно, конечно, правилом вывода пользуются, когда в универсальную формулу вместо переменной значение терма подставляют? Ну и что? Вы и в классической системе аксиом утверждение $n' + 0 = n'$ при помощи той же самой подстановки будете доказывать. Чем определение сложения на $\omega$ через SAD-аксиомы хуже классического определения я так и не уяснил.

Единственное, что могу сказать в пользу классической системы против SAD, так это то, что для каждого $n$ все суммы с первым аргументом $n$ определяются независимо. Это может помочь при построении примеров разного рода нестандартных моделей: разные штуки типа невыводимости свойств коммутативности, ассоциативности etc из слабой системы аксиом пеановской арифметики (без индукции) устанавливаются проще. Поскольку в теореме о неполноте чем слабее берётся начальная система аксиом, тем сильнее получается результат, эти вещи представляют определённый интерес.

Вот, кстати, вместо того чтобы фигнёй маяться, порешайте лучше что-нибудь из этой темы. К примеру, исследуйте связь аксиом с коммутативностью. Сформулирую 2 конкретные задачи.

I) Доказать, что сложение на натуральных числах коммутативно

II) Доказать, что из следующей системы аксиом не выводится коммутативность сложения.

1) $x \leqslant x$
2) $x \leqslant y \mathbin{\&} y \leqslant z \rightarrow x \leqslant z$
3) $x \leqslant y \mathbin{\&} y \leqslant x \rightarrow x = y$
4) $x \leqslant y \vee y \leqslant x$
5) $0 \leqslant x$
6) $x \leqslant x' \mathbin{\&} \neg (x = x')$
7) $x \leqslant y \mathbin{\&} \neg (x = y) \rightarrow x' \leqslant y$
8) $x + 0 = 0$
9) $x + y' = (x+y)'$
10) $x \cdot 0 = 0$
11) $x \cdot y' = (x \cdot y) + x$

У меня студенты такие задачи на зачёте решают. Дерзайте!

[sergmirdin]

А мне кажется источник вопроса в:

чему равен лагорифм 0 по снованию 0 ?
Проще - в какую степень надо возвести 0 что б получить 0 ?
Звучит глупо. Но с точки зрения философии:
если материя первично - то ответ - 0
если сознание первично - то 1- (кто ж признает себя нулем)

[shwedka]

sergmirdin писал(а):

чему равен лагорифм 0 по снованию 0 ?

Приятно пообщаться с образованным человеком!!