Пусть есть непрерывная случайная величина

, распределенная нормально, т.е. по закону

Рассмотрим функцию

. Эта функция от величины

даст случайную величину

. Требуется найти закон распределения

.
Найдем его сначала в интегральной форме.

есть вероятность того, что величина

примет значение, меньшее

. Поскольку

монотонно возрастает во всей области определения, эта вероятность есть вероятность того, что величина

примет значение от

до

. Итак,

Тогда дифференциальная функция распределения

будет равна

Вспоминая, что

- нормальный закон, имеем

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я все сделал. Я не вижу ошибки, но у меня не получается задача, которую я решаю. Она - внезапно - получается, если в последней формуле заменить

на

, но это же противоречит правилам дифференцирования. Или я не прав?