Распределение неслучайной функции случайного аргумента

[Anton_Peplov]

Пусть есть непрерывная случайная величина $X$, распределенная нормально, т.е. по закону

$$ f(x) = \frac{1}{ \sigma\sqrt{2 \pi}} \exp(-\frac{(x - m)^2}{2 \sigma^2}) $$

Рассмотрим функцию $y = \ln x$. Эта функция от величины $X$ даст случайную величину $Y$. Требуется найти закон распределения $Y$.
Найдем его сначала в интегральной форме. $G(y)$ есть вероятность того, что величина $Y$ примет значение, меньшее $y$. Поскольку $y = \ln x$ монотонно возрастает во всей области определения, эта вероятность есть вероятность того, что величина $X$ примет значение от $0$ до $\exp y$. Итак,

$$ G(y) = \int\limits_{0}^{\exp y} f(x)dx $$

Тогда дифференциальная функция распределения $g(y)$ будет равна

$$ g(y) = \frac{dG}{dy} = \frac{d}{dy} \int\limits_{0}^{\exp y} f(x)dx = f(\exp y) \exp y $$

Вспоминая, что $f(x)$ - нормальный закон, имеем

$$ g(y) = \frac{1}{ \sigma\sqrt{2 \pi}} \exp (y - \frac{(\exp y - m)^2}{2 \sigma^2}) $$

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я все сделал. Я не вижу ошибки, но у меня не получается задача, которую я решаю. Она - внезапно - получается, если в последней формуле заменить $(\exp y - m)^2$ на $(y - m)^2$, но это же противоречит правилам дифференцирования. Или я не прав?

[NSKuber]

Я думаю, стоит начать с того, что нормально распределённая случайная величина может принимать любые вещественные значения, а логарифм, как известно, с отрицательными числами и нулём плохо дружит. У вас $Y=\ln X$ как определяется? Вы просто взяли и выбросили левую (отрицательную) половину плотности?

[Nemiroff]

А как вы логарифм от отрицательных чисел берёте?

Опоздал…

[Anton_Peplov]

NSKuber в сообщении #991618 писал(а):

логарифм, как известно, с отрицательными числами и нулём плохо дружит

Да, я забыл сказать, что величина $X$ по условию положительна. Конечно, неотрицательная величина не может быть, строго говоря, распределена нормально, потому что гауссиана по оси абсцисс простирается до бесконечности в обе стороны, но в данном случае отрицательные значения оказываются за пределами столь многих сигм, что их можно отбросить.
Если конкретно, $X$ - это экспериментальная оценка положительной по своей природе физической величины, а гауссиана обусловлена ошибками измерения.

[svv]

Anton_Peplov в сообщении #991611 писал(а):

$$g(y) = \frac{1}{ \sigma\sqrt{2 \pi}} \exp (y - \frac{(\exp y - m)^2}{2 \sigma^2})$$

Это правильно. Давайте тогда всю задачу.

[Anton_Peplov]

svv в сообщении #991641 писал(а):

Давайте тогда всю задачу.

Спасибо, я уже нашел, в чем ошибка. Она совсем в другом месте. И если ее исправить, то задача неразрешима в элементарных функциях, и это - блинский блин.