2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Распределение неслучайной функции случайного аргумента
Сообщение17.03.2015, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5557
Пусть есть непрерывная случайная величина $X$, распределенная нормально, т.е. по закону
$$
f(x) = \frac{1}{ \sigma\sqrt{2 \pi}} \exp(-\frac{(x - m)^2}{2 \sigma^2})
$$
Рассмотрим функцию $y = \ln x$. Эта функция от величины $X$ даст случайную величину $Y$. Требуется найти закон распределения $Y$.
Найдем его сначала в интегральной форме. $G(y)$ есть вероятность того, что величина $Y$ примет значение, меньшее $y$. Поскольку $y = \ln x$ монотонно возрастает во всей области определения, эта вероятность есть вероятность того, что величина $X$ примет значение от $0$ до $\exp y$. Итак,
$$
G(y) = \int\limits_{0}^{\exp y} f(x)dx
$$

Тогда дифференциальная функция распределения $g(y)$ будет равна

$$
g(y) = \frac{dG}{dy} = \frac{d}{dy} \int\limits_{0}^{\exp y} f(x)dx = f(\exp y) \exp y
$$

Вспоминая, что $f(x)$ - нормальный закон, имеем

$$
g(y) = \frac{1}{ \sigma\sqrt{2 \pi}} \exp (y - \frac{(\exp y - m)^2}{2 \sigma^2})
$$


Проверьте, пожалуйста, правильно ли я все сделал. Я не вижу ошибки, но у меня не получается задача, которую я решаю. Она - внезапно - получается, если в последней формуле заменить $(\exp y - m)^2$ на $(y - m)^2$, но это же противоречит правилам дифференцирования. Или я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение неслучайной функции случайного аргумента
Сообщение17.03.2015, 19:50 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Я думаю, стоит начать с того, что нормально распределённая случайная величина может принимать любые вещественные значения, а логарифм, как известно, с отрицательными числами и нулём плохо дружит. У вас $Y=\ln X$ как определяется? Вы просто взяли и выбросили левую (отрицательную) половину плотности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение неслучайной функции случайного аргумента
Сообщение17.03.2015, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3883
МФТИ ФУПМ
А как вы логарифм от отрицательных чисел берёте?

Опоздал…

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение неслучайной функции случайного аргумента
Сообщение17.03.2015, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5557
NSKuber в сообщении #991618 писал(а):
логарифм, как известно, с отрицательными числами и нулём плохо дружит

Да, я забыл сказать, что величина $X$ по условию положительна. Конечно, неотрицательная величина не может быть, строго говоря, распределена нормально, потому что гауссиана по оси абсцисс простирается до бесконечности в обе стороны, но в данном случае отрицательные значения оказываются за пределами столь многих сигм, что их можно отбросить.
Если конкретно, $X$ - это экспериментальная оценка положительной по своей природе физической величины, а гауссиана обусловлена ошибками измерения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение неслучайной функции случайного аргумента
Сообщение17.03.2015, 20:53 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Anton_Peplov в сообщении #991611 писал(а):
$$g(y) = \frac{1}{ \sigma\sqrt{2 \pi}} \exp (y - \frac{(\exp y - m)^2}{2 \sigma^2})$$
Это правильно. Давайте тогда всю задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение неслучайной функции случайного аргумента
Сообщение17.03.2015, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5557
svv в сообщении #991641 писал(а):
Давайте тогда всю задачу.


Спасибо, я уже нашел, в чем ошибка. Она совсем в другом месте. И если ее исправить, то задача неразрешима в элементарных функциях, и это - блинский блин.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group