2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение16.03.2015, 22:40 


03/03/12
979
photon123 в сообщении #990590 писал(а):
Пробовал сделать замену переменных: $u = x + y$, $v = x - y$
Получаю:
$$
\begin{cases}
uv + 12\frac{u - v}{2} - 21 = 0\\
(\frac{u+v}{2})^2 + u^2 + \frac{u+v}{2}=0
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
uv + 6(u - v) - 21 = 0\\
5u^2 + 2uv + v^2 + 2u + 2v = 0
\end{cases}
$$

Пробовал из первого уравнения выразить $v$ и подставить во второе, но, кажется, это неправильный путь.

Согласно ответу, решений не существует.

Если бы Вы решили относительно переменной ($v$), то получилось бы уравнение не столь удачное:
$$v^4+26v^3+366v^2+1698v+2457=0$$
Смогли бы Вы доказать, что оно не имеет действительных корней?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение16.03.2015, 23:18 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Ещё идея. Мы воспринимаем как данность, что у нас имеется такой-то эллипс и такая-то гипербола, и именно их непересечение надо доказать.
WolframAlpha: plot x^2-y^2+12y-21=0; 2x^2+y^2+2xy+x=0

Но можно брать линейные комбинации обоих уравнений, получая равносильные системы с другими кривыми второго порядка, для которых доказать непересечение легче.

Например, возьмем разность уравнений вместо старого первого, а второе оставим как есть. Получим равносильную систему; но это уже два эллипса.
plot (2x^2+y^2+2xy+x)-(x^2-y^2+12y-21)=0; 2x^2+y^2+2xy+x=0; y=1.5 for x=-10 to 10, y=-10 to 10
А эти эллипсы легче сепарируются, поскольку один лежит строго выше прямой $y=1.5$, другой строго ниже.

Вопросом, как найти это без компьютера, я не задаюсь. Главное — результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение17.03.2015, 00:02 


15/03/15
6
TR63 в сообщении #991224 писал(а):
Если бы Вы решили относительно переменной ($v$), то получилось бы уравнение не столь удачное:
$$v^4+26v^3+366v^2+1698v+2457=0$$
Смогли бы Вы доказать, что оно не имеет действительных корней?


Технически да: взять производную, получается уравнение третьей степени. Найти корни (действительный в данном случае будет один), например, методом Кардано. Получаем минимум. Подставить в исходное уравнение и получить значение, большее ноля.

Но понятно, что выражения при таком методе получаются громоздкие.
К тому же задача из учебника 9 класса, им до производных еще далеко.
Поэтому я и сказал, что не такой путь подразумевается. К тому же, метод выражения через $y$ получается проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение17.03.2015, 01:20 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Заменим первое уравнение на разность второго и первого уравнений, а второе оставим:
$\begin{cases}x^2 + 2y^2 + 2xy + x - 12y + 21 = 0 \\ 2x^2 + y^2 + 2xy + x = 0 \end{cases}$
Эта система равносильна исходной. Докажем, что она не имеет решений. Приведем каждое к сумме квадратов, так, чтобы в один из квадратов входил только $y$:
$\begin{cases}\left(x+y+\frac 1 2\right)^2+\left(y-\frac{13}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{86}}{2}\right)^2\\\left(2x+y+\frac 1 2\right)^2+\left(y-\frac 1 2\right)^2=\left(\frac {\sqrt 2} 2\right)^2\end{cases}$
Из первого уравнения $y\geqslant \frac {13}2-\frac{\sqrt{86}}{2}$, из второго $y\leqslant \frac 1 2+\frac{\sqrt 2}{2}$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение17.03.2015, 07:40 


03/03/12
979
photon123 в сообщении #991260 писал(а):
$$v^4+26v^3+366v^2+1698v+2457=0$$


Технически да: взять производную, получается уравнение третьей степени. Найти корни (действительный в данном случае будет один), например, методом Кардано. Получаем минимум. Подставить в исходное уравнение и получить значение, большее ноля.


Конечно, это зубодробительное решение. Я имела в виду решение красивое. Такое, как у Вас получилось для переменной $(x)$. Поскольку Вы его не привели, то, думаю, осознали, в чём сложность такой красоты. Интересно, можно ли его решить красиво.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group