Нестандартные задачи

[незваный гость]

4arodej писал(а):

2. Вычислить интеграл \int_{[0,1]^n}(x_1+x_2+\ldots+x_n)^m dx_1dx_2\ldots dx_n, где n,m натуральные

$\frac{m!}{(m+n)!}\sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k C_n^k (n-k)^{n+m}$

[durapy]

Может быть это переутомление, но я не могу решить уравнение. Помогите plz.

[bot]

Тоже боюсь переутомиться.
Если хочешь сделать неподъёмную задачу для школьников - составь уравнение степени выше второго и сделай в нём опечатку.

[4arodej]

незванный гость писал(а):

4arodej писал(а):

2. Вычислить интеграл \int_{[0,1]^n}(x_1+x_2+\ldots+x_n)^m dx_1dx_2\ldots dx_n, где n,m натуральные

$\frac{m!}{(m+n)!}\sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k C_n^k (n-k)^{n+m}$

Это типа очевидно?

[незваный гость]

Цитата:

Идя по Красной площади в полной форме, Штирлиц повстречал люберов.
-- Люберы -- подумал Штирлиц.
-- Дешевый закос под бундеса -- подумали люберы.

Так что это -- дешевый закос под ...

По жизни же рассматривается интреграл вида $I(n,m,\xi) = $ $\int_{[0,1]^n}(x_1+x_2+\ldots+x_n + \xi)^m dx_1dx_2\ldots dx_n$ (обратите внимание на дополнительную $\xi$). Его можно тихо проинтегрировать по одной из переменных, повышая $m$ и понижая $n$ -- он распадется на два интеграла $I(n,m,\xi) = \frac{1}{m+1}(I(n-1,m+1,\xi+1)-I(n-1,m+1,\xi))$. Дальнейшее -- дело нехитрой техники...

Гораздо более интересный вопрос показать, что эта кракозяка суть полином степени $m$ от $n$.

[durapy]

В моем уравнении нет опечатки. Оно точно как-то решается, не исключено, что заменой.

[Dolopihtis]

незванный гость писал(а):

:evil:

uchenik писал(а):

А меня мучает решение этой задачи! помогите пожалуйста $16^{\sin{2x}}+16\cos^2{x}=10$

Я думаю, Вы все-таки неправильно записали. Наверное, должно быть $16 \sin{2x}+16\cos^2{x}=10$. Тогда ответ $\frac12 \arcsin \frac{2 \pm \sqrt{79}}{20}+ \pi \, k$

А если в оригинале было $16^{\sin^2{x}}+16\cos{2x}=10$ , тогда ответ $\pi/6$

[незваный гость]

Dolopihtis писал(а):

тогда ответ $\pi/6$

Вам -- верю. Только $\pi k$ потеряли....

[bekas]

А как логически (без подбора) получить ответ ПИ/6 ?

[Alex_L]

durapy писал(а):

В моем уравнении нет опечатки. Оно точно как-то решается, не исключено, что заменой.

Скажите мне одно решение и я вам скажу все остальные.

[незваный гость]

Заменить $\cos 2 x$ на новую переменную. Имеем единственное решение $\cos 2 x = \frac12$, откуда $ x = \pm \pi/6 + \pi k$.

[Valk]

evgeny писал(а):

$x^5+2^5=y^2+1\ \Rightarrow\ x+2\equiv 3 \pmod{4}$ т.к. $x+2\ |\ y^2+1 $ получем, что $y^2+1$ имеет простой делитель вида $4k+3$, что невозможно

Вы не сердитесь, я давно учился ... Но почему именно простой?

[yvanko]

ибо, если все простые делители будут вида 4к+1 то и само число будет вида 4к+1

[student]

Dolopihtis писал(а):

незванный гость писал(а):

:evil:

uchenik писал(а):

А меня мучает решение этой задачи! помогите пожалуйста $16^{\sin{2x}}+16\cos^2{x}=10$

Я думаю, Вы все-таки неправильно записали. Наверное, должно быть $16 \sin{2x}+16\cos^2{x}=10$. Тогда ответ $\frac12 \arcsin \frac{2 \pm \sqrt{79}}{20}+ \pi \, k$

А если в оригинале было $16^{\sin^2{x}}+16\cos{2x}=10$ , тогда ответ $\pi/6$

Наверно в учебнике была отпечатка!

[student]

Решите уравнение в простых числах! x^y-y^x=xy^2-19
Жду ваших коментариев! Спасибо!