Известна одна из медиан и углы, нужно найти площадь.

[gris]

Ответ к задаче должен быть симметричен относительно боковых углов, возможно и неявно. Если в процессе решения эту симметрию культивировать (например, для медианы использовать две теоремы косинусов), то симметрия останется явной и ответ будет красивым и ясным.

[timtam]

Цитата:

При $\gamma = \pi/2, \alpha=\beta=\pi/4$ должно быть $m^2$.
У Вас же что-то более громоздкое.

Спасибо. Я уже как-то подзабыл, что выведенные формулы нужно проверять по известным значениям.
Идея была верной.
Меня несколько дезориентировали обозначения введенные автором топика.
Вот так выглядит формула, где нет путаницы с обозначением углов и сторон треугольника

$S=\sin\beta\sin\gamma/\sin\alpha\cdot2m^2/(2+2(\sin\beta/\sin\alpha)^2-(\sin\gamma/\sin\alpha)^2)$

При $\gamma = \pi/2, \alpha=\beta=\pi/4$ выражение сокращается до $m^2$ (ч.т.д.)

Цитата:

ответ будет красивым и ясным.

А где в условии задачи было сказано, что ответ должен быть красивым и ясным?
Во всяком случае, мой способ решения не требует доказательств т.к. основан на очевидных предположениях и известных формулах.
Впрочем я сразу сказал, что изящным такое решение не назовешь.
С другой стороны, если, напимер вспомнить формулу для вычисления площади треугольника по трем высотам,
то там тоже мама не горюй)

[Евгений Машеров]

Ну вот я имел в виду использовать выражение для длины медианы $4m^2=2a^2+2b^2-c^2$, для площади треугольника $S=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ и теорему синусов $\frac a {\sin\alpha}=\frac b {\sin\beta}=\frac c {\sin\gamma}=2R$
Подставляя третье в первое, получим
$4m^2=8R^2\sin^2\alpha+8R^2\sin^2\beta-4R^2\sin^2\gamma$
откуда $R^2=\frac {m^2}{2\sin^2\alpha+2\sin^2\beta-\sin^2\gamma}$
и $S=\frac {2m^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{2\sin^2\alpha+2\sin^2\beta-\sin^2\gamma}$
Вроде бьёт.

(Оффтоп)

Да, и что касается претензии "чересчур много формул знает" - наверно, она обоснована, если это чисто учебная или олимпиадная задача, там надо бы вывести, пользуясь минимумом сведений и, во всяком случае, без заглядывания в справочники, нет ли готового или почти готового решения. А если задача прикладная - то результат, выданный быстро, ценнее красивого, но потом.

[atlakatl]

Евгений Машеров
В итоговой формуле выражение на $2$ забыли умножить.
timtam, в Вашей формуле углы $\alpha$ и $\beta$ входят в выражение не симметрично.

[timtam]

Цитата:

Вашей формуле углы $\alpha$ и $\beta$ входят в выражение не симметрично.

И что из того?
Проверил формулу также на равностороннем треугольнике - все сходится.

[atlakatl]

timtam в сообщении #990684 писал(а):

Проверил формулу также на равностороннем треугольнике - все сходится.

Проверьте при $\alpha=\pi/6$ и $\beta=\pi/3$, а затем сравните результат с $\alpha=\pi/3$ и $\beta=\pi/6$. $\gamma=\pi/2$ в обоих случаях.

[Евгений Машеров]

atlakatl в сообщении #990672 писал(а):

Евгений Машеров
В итоговой формуле выражение на $2$ забыли умножить.
timtam, в Вашей формуле углы $\alpha$ и $\beta$ входят в выражение не симметрично.

Спасибо.
Исправил.

[timtam]

Цитата:

Проверьте при $\alpha=\pi/6$ и $\beta=\pi/3$, а затем сравните результат с $\alpha=\pi/3$ и $\beta=\pi/6$. $\gamma=\pi/2$ в обоих случаях.

Проверил и сравнил. В обоих случаях $\surd3/2\cdot m^2$
(корень из трех пополам (просто не нашел как в техе корни и подкоренные корректно прописывать))
А у вас что-то другое?

И, да. Может быть явите, так сказать, на суд общественности вашу симметричную формулу? (естественно с кратким пояснением того, как она была получена)

[Евгений Машеров]

На самом деле формулы timtam и моя одинаковы с точностью до умножения числителя и знаменателя на $\sin^2\alpha$

[atlakatl]

timtam Да, всё верно. Это я ошибся.

timtam в сообщении #990723 писал(а):

Может быть явите, так сказать, на суд общественности вашу симметричную формулу? (естественно с кратким пояснением того, как она была получена)

Формула Евгений Машеров улучшению не поддаётся. И его вывод.

[timtam]

Цитата:

Формула Евгений Машеров улучшению не поддаётся. И его вывод.

Аминь
Можно задачу в архив переносить.

[grizzly]

(timtam)

timtam в сообщении #990772 писал(а):

Можно задачу в архив переносить.

Вы же не ТС, чтобы об этом просить.
Впрочем, я ради другого. Если будете частым гостем (надеюсь), научитесь, пжл, правильно оформлять цитаты -- выделяете текст и нажимаете кнопочку "вставить" внизу данного (не другого!) сообщения. Тогда автор цитаты узнает, что вы на него ссылались. Да и просто всем удобнее.

[ewert]

Хм, ну вот полное решение, безо всяких недомолвок.

По теореме синусов для треугольников $ABM$ и $ACM$: $c=m\frac{\sin\delta}{\sin\beta}$ и $b=m\frac{\sin\delta}{\sin\gamma}$, где $\delta$ -- какой-либо из углов с вершиной в точке $M$. Откуда $S=\frac12bc\sin\alpha=m^2\frac{\sin^2\delta\sin\alpha}{2\sin\beta\sin\gamma}$.

Остаётся лишь отыскать $\sin^2\delta$; напрашивается приплесть теорему косинусов для треугольника $ABD$, уж из неё-то оно никак не может не выскочить:

$(2m)^2=c^2+b^2-2bc\cos(\pi-\alpha), \qquad 4m^2=m^2\frac{\sin^2\delta}{\sin^2\beta}+m^2\frac{\sin^2\delta}{\sin^2\gamma}+2m^2\frac{\sin^2\delta}{\sin\beta\sin\gamma}\cos\alpha$,

откуда $\sin^2\delta=\frac{4\sin^2\beta\sin^2\gamma}{\sin^2\beta+\sin^2\gamma+2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha}$ и, соответственно, $S=m^2\frac{2\sin\beta\sin\gamma\sin\alpha}{\sin^2\beta+\sin^2\gamma+2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha}$.

И не нужно почти ничего не то что помнить, но даже и изобретать: всё практически на автомате.

(там на рисунке были нечаянно перепутаны буковки $a$ и $c$; я нечаянно исправил)

[timtam]

ewert в сообщении #990847 писал(а):

Хм, ну вот полное решение, безо всяких недомолвок.

Ну что же. Еще один способ решить поставленную задачу.
(кстати, вариант "Евгений Машеров" мне видится наиболее изящным из всех предложенных)
И вам спасибо за вариант.
Лично мне всегда интересно не просто решить, а предложить несколько способов решений.
А тема-то ожила, взбодрилась

[ewert]

(Оффтоп)

timtam в сообщении #990856 писал(а):

Еще один способ решить поставленную задачу.

Это был первый из предложенных в данной ветке явных способов, и изложен он был ещё в самом что ни на есть четвёртом посте. Изложен именно как наиболее тупой и очевидный.

Евгений Машеров в сообщении #987090 писал(а):

Единственная формула, которая вроде не из школьной программы (а может, просто забыл, и в силу склероза в справочник полез)
$S=\frac {abc}{4R}$

Она вполне школьная, но всё-таки -- периферийная.