Однопараметрические группы

[DLL]

Не могу сообразить. Вот допустим есть обратимая функция $G(t)$.
Всегда ли можно по ней построить однопараметрическую абелеву группу t' = $F(t,\alpha)$ такую чтобы при некотором $\alpha_0$: $F(t,\alpha_0) = G(t)$ ?

[пианист]

С $G(t)=-t$, думаю, будут проблемы: производная меньше нуля, а ведь при $\alpha=0$ она равна 1, т.е. в какой то момент придется пройти через нуль.

[DLL]

$F(t,\alpha)=e^{i \alpha} t$

[пианист]

Я думал, речь про вещественный случай.
Если про отображения комплексной плоскости.. и Вы, наверное, про аналитические функции, сиречь удовлетворяющие условиям К-Р?
Думаю, такие да, будут вписываться в однопараметрическую группу (на как доказать, не знаю).

[DLL]

Да, без проблем можно наложить эти условия.
Было бы интересно в концептуальном плане понять как такую вещь можно доказать

[Padawan]

$G(t)$ что куда отображает?

[DLL]

Вообще, $G(t)$ - вещественная обратимая функция вещественной переменной $t$.
Но если надо потребовать чью-то аналитичность нет проблем

[Padawan]

Так все-таки, $G(t)$ задана на интервале $(a,b)$ и отображает его в интервал $(a',b')$ ? Тогда какая может быть тут группа, если $(a',b')\neq (a,b)$ ?

[DLL]

ОК. Пусть и интервалы совпадают.

[Padawan]

Посмотрите Нечепуренко М.И. Итерации вещественных функций и функциональные уравнения. 228 с. Содержание: http://allmath.ru/highermath/mathanalis/mathanalis22/mathanalis.htm, pdf: http://techlibrary.ru/b/2v1f1y1f1q1u1r1f1o1l1p_2u.2q._2q1t1f1r1a1x1j1j_1c1f2a1f1s1t1c1f1o1o2c1w_1v1u1o1l1x1j1k_1j_1v1u1o1l1x1j1p1o1a1m2d1o2c1f_1u1r1a1c1o1f1o1j2g._1997.pdf Обратите внимание на раздел "Итерации с дробными показателями". В частности там приведена (без доказательства, но может дальше есть, не смотрел) теорема Кенига, согласно которой, если функция $f(z)$ аналитична в нуле, $f(0)=0$, $0<f'(0)<1$, то в некоторой окрестности нуля её можно включить в однопараметрическую группу $\{f^\alpha\}$ (в книге они называются семейства дробных итераций).

[DLL]

О, спасибо! Похоже в общем случае (без наложения каких-то дополнительных условий) включить в однопараметрическую группу нельзя.
Что ж - это тоже ценная информация!