Система двух нелинейных уравнений

[photon123]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, решить систему. Все задачи в "окрестности" прорешал, а эта не получается.

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 + 12y - 21 = 0 \\ 2x^2 + y^2 + 2xy + x = 0 \end{cases} $$

Пробовал сделать замену переменных: $u = x + y$, $v = x - y$
Получаю:

$$ \begin{cases} uv + 12\frac{u - v}{2} - 21 = 0\\ (\frac{u+v}{2})^2 + u^2 + \frac{u+v}{2}=0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} uv + 6(u - v) - 21 = 0\\ 5u^2 + 2uv + v^2 + 2u + 2v = 0 \end{cases} $$

Пробовал из первого уравнения выразить $v$ и подставить во второе, но, кажется, это неправильный путь.

Согласно ответу, решений не существует.

[ИСН]

Кому стало легче от этой замены переменных?
Два квадратных уравнения - это уравнение 4 степени, если не повезёт. Есть ли у Вас основания думать, что тут повезёт?

[photon123]

Я пытался еще получить что-либо хорошее, складывая уравнения, предварительно умножив на коэффициенты. Но ничего подходящего не нашел.

[bot]

Попробуйте с первого - это же гипербола, стало быть линейной заменой приведётся к $uv=\text{Const}$. Станет ли от этого второе легче, не проверял - при подстановке вся та же 4-я степень никуда не денется.

[Pphantom]

Оба исходных уравнения описывают некоторые кривые второго порядка. Их можно найти и попытаться, например, нарисовать...

[ИСН]

Коэффициенты, на которые надо умножить эти уравнения, чтобы при сложении получилось что-либо хорошее, вид имеют совершенно неприемлемый. Так что это правильно, что не нашли.
Но вот это

photon123 в сообщении #990590 писал(а):

Согласно ответу, решений не существует.

- это же совсем другое дело! Ну, смотрим. Первое уравнение - это что за кривая? А второе?

[photon123]

Первая гипербола, вторая - эллипс. Предлагаете привести к каноническому виду?

В принципе, это задача из учебника для 9 класса матшкол.

[Brukvalub]

Раз известно, что решений нет, то можно попробовать получить уравнение-следствие в виде квадратного уравнения от одной из переменных с отрицательным дискриминантом, в котором участвует вторая переменная.

[Pphantom]

photon123 в сообщении #990645 писал(а):

Обе гиперболы.

Уверены?

photon123 в сообщении #990645 писал(а):

Предлагаете привести к каноническому виду?

В целом да, хотя полное приведение и не требуется, необходимые операции вполне может выполнить школьник.

[DLL]

Компьютерный вариант решения
Базис Гребнера состоит из двух полиномов, в первом исключена $x$, а второй по $x$ линеен:
$5 y^4-100 y^3+791 y^2-2088 y+1743, -10 y^3+205 y^2+219 x-1356 y+2226$
Значит любой вещественный корень (и только он) первого полинома дает решение системы.
Cylindric Algebraic Decomposition сразу же дает, что полином не меняет знак на всей вещественной прямой.
Очевидно, что решений нет

[mserg]

В копилку методов решения. Есть такое направление как "Программирование в ограничениях". Одной из техник является "интервальный анализ", а также "распространение ограничений".

В нашем случае, второе уравнение нужно переписать так:
$(x+y)^2+(x+0.5)^2 -0.25=0$
Очевидно, что x будет в интервале [-1,0], а y - в интервале [-0.5,1.5].
Интервальная оценка левой части первого уравнения отрицательна - решений нет.

[photon123]

Pphantom
Вторая - эллипс.
Но, честно говоря, не вижу, как без методов аналитической геометрии привести второе уравнение к каноническому виду.

[Pphantom]

photon123 в сообщении #990690 писал(а):

Вторая - эллипс.
Но, честно говоря, не вижу, как без методов аналитической геометрии привести второе уравнение к каноническому виду.

Там не нужно это приведение в чистом виде. По сути дела, то, что требуется, уже написал mserg двумя сообщениями выше - достаточно догадаться, что это эллипс, и получить ограничения на возможные диапазоны изменений $x$ и $y$.

[ИСН]

Я планировал раздувать эллипс, меняя его свободный параметр, потом найти, когда он начнёт касаться ветвей гиперболы (там должно быть как-то просто), и показать, что мы не доросли даже до первого из этих касаний, а значит, нет и пересечений.
Но это сложная фигня. Школьными методами - надо, конечно, как mserg говорит.

[photon123]

В принципе, можно в лоб решить. Но с громоздким приведением.
Сложить уравнения, выразить $y$. Получится: $y = \frac{21 - x - 3x^2}{2x + 12}$
Если подставить это выражение в первое уравнение и привести к общему знаменателю, то будет:

$$- \frac{5x^4 + 30x^3 + 271x^2 + 606x + 441}{4(x + 6)^2} = 0$$

$$ 5x^2(x + 3)^2 + 226x^2 + 606x + 441 = 0 $$

Дискриминант $226x^2 + 606x + 441$ отрицательный, поэтому это уравнение в ноль не обращается, значит, решений нет.
Это, конечно, куда менее изящное решение, чем с проверкой ограничений.

Но меня смущает следующее. Может, это не аргумент, но все-таки.
Эта задача входит в номер из трех задач.
Вот они:

$$ \begin{cases} |x| + |y| = 3\\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x + y + z = 0\\ xy + yz = -1\\ x^2 + y^2 + z^2 = 6 \end{cases} $$

Какие-то они очень тривиальные по сравнению с этой.
В предыдущих номерах (это последний в параграфе) также акцент на том, чтобы найти какую-либо замену переменных типа той, что я привел в первом сообщении.