2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 15:01 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
AGu в сообщении #990211 писал(а):
Это известный факт, о котором как раз и напомнил Nemiroff

Да-да-да. Непустая полугруппа является группой тогда и только тогда, когда для любого элемента существует единственный псевдообратный (это как раз $y$ такой, что $xyx=x$).
Я только не соображу контрпример к
Kras в сообщении #990070 писал(а):
для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $xyx=yxx=xxy=x$
если туда добавить слово "единственный".

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
AGu в сообщении #990211 писал(а):
Это известный факт

А. Мне неизвестный. Спасибо.

(Оффтоп)

(Если он доказывается в двух строчках, то как?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 17:19 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск

(Оффтоп)

Munin в сообщении #990247 писал(а):
Если он доказывается в двух строчках, то как?
На StackExchange — 10 строчек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Класс! Завидую полугруппщикам.

И кстати, я тогда понял, откуда тот вопрос, который был в начале этой ветки, помните?
    Padawan в сообщении #989809 писал(а):
    Возьмем стандартное определение группы:
    Пара $(G,*)$, где $G$ -- непустое множество, а $*\colon G\times G\to G$ -- бинарная операция на $G$, называется группой, если
    1. $(x*y)*z=x*(y*z)$ для любых $x,y,z\in G$
    2. Существует элемент $e\in G$, такой, что $e*x=x*e=x$ для любого $x\in G$
    3. Для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $x*y=y*x=e$
Это просто-напросто неудачный перенос из какого-то более продвинутого учебника по алгебре, где это звучало примерно так:
    ...определение операции... (где-то выше по тексту)
    ...определение ассоциативной операции...
    ...определение единицы...
    Пара $(G,*)$, где $G$ -- непустое множество, а $*\colon G\times G\to G$ -- бинарная операция на $G$, называется группой, если
    1. $*$ ассоциативна;
    2. в $(G,*)$ есть единица;
    3. Для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $x*y=y*x=e,$ где $e$ - единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
878
AGu в сообщении #990278 писал(а):
Munin в сообщении #990247 писал(а):
Если он доказывается в двух строчках, то как?
На StackExchange — 10 строчек.

Там ошибка в доказательстве. Поскольку элементы $ix$ не обязаны пробегать полугруппу $S$, из равенств $(ix)'=(ix)'ix(ix)'=(ix)'x(ix)'$ не следует $x=ix.$ В общем случае такая полугруппа не обязана быть группой. Контрпример можно найти в книге Куроша "Общая алгебра" (параграф 4 - Инверсные полугруппы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 22:15 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Обалдеть! А я был уверен, что это факт, и даже особо не вникал в доказательство. Спасибо большущее, буду разбираться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
lek в сообщении #990393 писал(а):
Поскольку элементы $ix$ не обязаны пробегать полугруппу $S$, из равенств $(ix)'=(ix)'ix(ix)'=(ix)'x(ix)'$ не следует $x=ix.$

Вся эта строчка подразумевается под квантором $\forall\,x.$ Тогда следует (как мне показалось).

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
878
Нет, это ведь полугруппа (однозначность деления не предполагается). Поэтому из того, что $x$ пробегает $S$ не следует, что $y=ix$ так же пробегает $S$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 22:42 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
lek в сообщении #990393 писал(а):
Поскольку элементы $ix$ не обязаны пробегать полугруппу $S$, из равенств $(ix)'=(ix)'ix(ix)'=(ix)'x(ix)'$ не следует $x=ix.$
Минуточку, не понял. При чем тут пробегание? Из равенства $(ix)'=(ix)'x(ix)'$ следует $x=(ix)''$. С другой стороны, $(ix)''=ix$. Не вижу ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
lek в сообщении #990402 писал(а):
Нет, это ведь полугруппа. Поэтому из того, что $x$ пробегает $S$ не следует, что $y=ix$ так же пробегает $S$.

Так, мы фиксируем идемпотент $i,$ и после этого пробегаем $x$ по всей $S.$ После этого мы доказываем, что $(ix)'i=(ix)',$ и ещё одним шагом, - что $x=ix.$ К этим доказательствам есть претензии? Они по применению условия теоремы.

Дальше, мы имеем для данного $i,$ что $\forall\,x\quad x=ix.$ Нам уже не важно, кого пробегают $ix$ - мы видим, что $x$ пробегают всю $S,$ и этого достаточно, чтобы заключить, что $i$ - левая единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Если я правильно понимаю, то проблема чуть дальше. Курош показывает, что у инверсных полугрупп (так они называются) идемпотенты в общем случае разные и они перестановочны. А в доказательстве на stackexchange сразу делается вывод о единственности идемпотента (из не очень понятных мне соображений симметрии), что и приводит к группе. У Куроша однозначно верно, поскольку рассмотрено намного глубже и аккуратнее, плюс с конкретными примерами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
grizzly в сообщении #990412 писал(а):
А в доказательстве на stackexchange сразу делается вывод о единственности идемпотента

Нет, как я понял, там делается вывод о существовании хотя бы одного идемпотента. Потом доказывается, что он - единица, и левая и правая. А уж единица-то единственна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 23:07 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Ребята, а вы точно ничего не путаете? Вы уверены, что наше условие равносильно инверсности? Чисто визуально отличие точно есть. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
grizzly в сообщении #990412 писал(а):
У Куроша однозначно верно, поскольку рассмотрено намного глубже и аккуратнее, плюс с конкретными примерами.

Боюсь, как раз у Куроша ошибка. Рассмотрим его пример с "частичными подстановками". Среди них есть нулевая ч.подстановка $0.$ А для неё, очевидно, $0y0=0$ не для единственного $y\in S\setminus\{0\}.$ То есть, условие единственности нарушается, и поскольку оно оговорено и у Куроша - Курош ошибается.

А, ну да, точно же! В одном месте $xyx=x,$ в другом $xyx=x\wedge yxy=y.$ Поскольку и там и там говорится о единственном элементе, эти условия не соотносятся как "более широкое - более узкое", они могут удовлетворяться или не удовлетворяться в любых сочетаниях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некорректность в определении группы
Сообщение14.03.2015, 23:23 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Курош не ошибается. Это мы ошибаемся, считая что имеем дело с инверсными полугруппами. Я ж говорю, определения-то разные!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: HungryLion


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group