2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Уравнение
Сообщение14.03.2015, 10:50 


03/03/12
1380
rightways в сообщении #968767 писал(а):
Вот это уравнение легкое но решается долго.

$7y^2=x^4+x$

в целых числах.

Умножим обе части уравнения на (х). Получим:
$x^2-(7y^2)x+x^5=0$
$x_1=\frac1 2(7y^2+\sqrt{49y^4-4x^5})$
$x_2=\frac1 2(7y^2-\sqrt{49y^4-x^5})$
$x_1+x_2=7y^2$
Допустим, что существуют целые положительные $(+x;y)$ корни. В исходное уравнение подставим фиксированный корень $(y)$ (который по предположению существует) и будем искать соответствующий именно ему $(x)$. Соответствовать может только один положительный, один отрицательный, два комплексных корня$(\alpha\pm i\beta)$. Другого расклада быть не может. Пара $(x;y)=(u;i(\frac{-u-u^4}{7}))$, приведённая Deggial в качестве контрпримера (наличия бесконечного количества комплексных корней), не подходит, т.к. переменная $(y)$ по предположению целая и фиксированна. А, уравнение четвёртой степени при фиксированном (у) не может иметь более четырёх корней. Вероятно, Deggial, что-то не понял или я плохо объяснила. Может, я что-то не понимаю. Но, что?
Тогда возможны два случая:
1). $(x_1;x_2)$ оба комплексные $x_1+x_2=2\alpha=7y^2$
2). $(x_1;x_2)$ оба действительные $2\alpha=-7y^2$
Очевидным является факт, что, если в исходном уравнении существует хотя бы один из ненулевых корней (+целый корень х;-целый корень х)при целом ненулевом корне (у), то$y=2y_1$, $y^2=4y_1^2$, $y_1$ целое. Тогда
$14y_1^2=\alpha$
Получили, что ($\alpha$) целое ненулевое число. Такое возможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение
Сообщение14.03.2015, 12:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
TR63 в сообщении #990138 писал(а):
Может, я что-то не понимаю. Но, что?

Посмотрите где-нибудь, как отличать уравнения второй степени от уравнений четвёртой или пятой степени. А заодно ещё про формулы Виета.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение
Сообщение14.03.2015, 13:14 


03/03/12
1380
TR63 в сообщении #990138 писал(а):
Соответствовать может только один положительный, один отрицательный, два комплексных корня$(\alpha\pm i\beta)$.

Это касается исходного уравнения (не преобразованного).grizzly, это верно? С остальным, вроде, разобралась. Должно выполняться хотя бы одно из равенств:
TR63 в сообщении #990138 писал(а):
$x^2-(7y^2)x+x^5=0$
$x=\frac1 2(7y^2+\sqrt{49y^4-4x^5})$
$x=\frac1 2(7y^2-\sqrt{49y^4-x^5})$


Но доказательству это не помагает. А, вот, с целыми ненулевыми комплексными контрпример не подходит. Или подходит? И я совсем запуталась.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group