Вот это уравнение легкое но решается долго.
![$7y^2=x^4+x$ $7y^2=x^4+x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/f/c3ff9b6da2feebf56f264ae36afb42d582.png)
в целых числах.
Умножим обе части уравнения на (х). Получим:
![$x^2-(7y^2)x+x^5=0$ $x^2-(7y^2)x+x^5=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/7/5178f89edd89a978bbb996a2d970038b82.png)
![$x_1=\frac1 2(7y^2+\sqrt{49y^4-4x^5})$ $x_1=\frac1 2(7y^2+\sqrt{49y^4-4x^5})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/b/93bf7c292e2f1b5cdcc364689ea2ccb082.png)
![$x_2=\frac1 2(7y^2-\sqrt{49y^4-x^5})$ $x_2=\frac1 2(7y^2-\sqrt{49y^4-x^5})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/a/d5a021bd3ac56e8b0330651f850f3a0882.png)
![$x_1+x_2=7y^2$ $x_1+x_2=7y^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/5/065a963249cecaaa9c224546f3a5f1b582.png)
Допустим, что существуют целые положительные
![$(+x;y)$ $(+x;y)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/3/e036206e0b39897daebb586c60bf08c482.png)
корни. В исходное уравнение подставим фиксированный корень
![$(y)$ $(y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/a/d7ab8e515c0f5a554bc49463f4c598d082.png)
(который по предположению существует) и будем искать соответствующий именно ему
![$(x)$ $(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/b/06b4c569ebdbb9d7575915683e7ee94582.png)
. Соответствовать может только один положительный, один отрицательный, два комплексных корня
![$(\alpha\pm i\beta)$ $(\alpha\pm i\beta)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/0/fe08f95a59304e18589034da76fecf8c82.png)
. Другого расклада быть не может. Пара
![$(x;y)=(u;i(\frac{-u-u^4}{7}))$ $(x;y)=(u;i(\frac{-u-u^4}{7}))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/7/937aede6f74faa90d811b5526092fdd682.png)
, приведённая
Deggial в качестве контрпримера (наличия бесконечного количества комплексных корней), не подходит, т.к. переменная
![$(y)$ $(y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/a/d7ab8e515c0f5a554bc49463f4c598d082.png)
по предположению целая и фиксированна. А, уравнение четвёртой степени при фиксированном (у) не может иметь более четырёх корней. Вероятно,
Deggial, что-то не понял или я плохо объяснила. Может, я что-то не понимаю. Но, что?
Тогда возможны два случая:
1).
![$(x_1;x_2)$ $(x_1;x_2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/6/08618fcefef022e9f3e06cf33111e82482.png)
оба комплексные
![$x_1+x_2=2\alpha=7y^2$ $x_1+x_2=2\alpha=7y^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/a/19a56d46cc84c55e41a860c15a28e0f882.png)
2).
![$(x_1;x_2)$ $(x_1;x_2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/6/08618fcefef022e9f3e06cf33111e82482.png)
оба действительные
![$2\alpha=-7y^2$ $2\alpha=-7y^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/1/ce1cd2a7541d5f4dd5b1d9ae360fd67b82.png)
Очевидным является факт, что, если в исходном уравнении существует хотя бы один из ненулевых корней (+целый корень х;-целый корень х)при целом ненулевом корне (у), то
![$y=2y_1$ $y=2y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/6/b96ea6ebb7fb7dd9f32c5c65d6583df082.png)
,
![$y^2=4y_1^2$ $y^2=4y_1^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/e/45eefc8989d614cfdd0892c134df667182.png)
,
![$y_1$ $y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/0/f7019b486d7fc8f840b0ce0bb0d4171482.png)
целое. Тогда
![$14y_1^2=\alpha$ $14y_1^2=\alpha$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/e/11e21afe01dcf23da9dc3c9d8de8c3c682.png)
Получили, что (
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
) целое ненулевое число. Такое возможно?