Уравнение

[TR63]

rightways в сообщении #968767 писал(а):

Вот это уравнение легкое но решается долго.

$7y^2=x^4+x$

в целых числах.

Умножим обе части уравнения на (х). Получим:
$x^2-(7y^2)x+x^5=0$
$x_1=\frac1 2(7y^2+\sqrt{49y^4-4x^5})$
$x_2=\frac1 2(7y^2-\sqrt{49y^4-x^5})$
$x_1+x_2=7y^2$
Допустим, что существуют целые положительные $(+x;y)$ корни. В исходное уравнение подставим фиксированный корень $(y)$ (который по предположению существует) и будем искать соответствующий именно ему $(x)$. Соответствовать может только один положительный, один отрицательный, два комплексных корня$(\alpha\pm i\beta)$. Другого расклада быть не может. Пара $(x;y)=(u;i(\frac{-u-u^4}{7}))$, приведённая Deggial в качестве контрпримера (наличия бесконечного количества комплексных корней), не подходит, т.к. переменная $(y)$ по предположению целая и фиксированна. А, уравнение четвёртой степени при фиксированном (у) не может иметь более четырёх корней. Вероятно, Deggial, что-то не понял или я плохо объяснила. Может, я что-то не понимаю. Но, что?
Тогда возможны два случая:
1). $(x_1;x_2)$ оба комплексные $x_1+x_2=2\alpha=7y^2$
2). $(x_1;x_2)$ оба действительные $2\alpha=-7y^2$
Очевидным является факт, что, если в исходном уравнении существует хотя бы один из ненулевых корней (+целый корень х;-целый корень х)при целом ненулевом корне (у), то$y=2y_1$, $y^2=4y_1^2$, $y_1$ целое. Тогда
$14y_1^2=\alpha$
Получили, что ($\alpha$) целое ненулевое число. Такое возможно?

[grizzly]

TR63 в сообщении #990138 писал(а):

Может, я что-то не понимаю. Но, что?

Посмотрите где-нибудь, как отличать уравнения второй степени от уравнений четвёртой или пятой степени. А заодно ещё про формулы Виета.

[TR63]

TR63 в сообщении #990138 писал(а):

Соответствовать может только один положительный, один отрицательный, два комплексных корня$(\alpha\pm i\beta)$.

Это касается исходного уравнения (не преобразованного).grizzly, это верно? С остальным, вроде, разобралась. Должно выполняться хотя бы одно из равенств:

TR63 в сообщении #990138 писал(а):

$x^2-(7y^2)x+x^5=0$
$x=\frac1 2(7y^2+\sqrt{49y^4-4x^5})$
$x=\frac1 2(7y^2-\sqrt{49y^4-x^5})$

Но доказательству это не помагает. А, вот, с целыми ненулевыми комплексными контрпример не подходит. Или подходит? И я совсем запуталась.